Wagner-Fischer算法

Question

我正在尝试理解用于找到字符串之间距离的Wagner-Fischer算法。我正在通过以下链接查看它的伪代码：http://en.wikipedia.org/wiki/Wagner%E2%80%93Fischer_algorithm

long = [1,2,3,4,5]  
short = [1,3,5]  
# same_sequence(long, short) = True  
short = [1,4,3]  
# same_sequence(long, short) = False

实际上我得到算法的观点并直观地理解它，对我来说并不明显为什么 d [i-1，j] + 1，d [i，j-1] + 1和d [i -1，j-1] + 1 被视为删除，插入和替换。如果有人以更详细的方式解释实施细微差别，那就太好了。

Answer 1

我创建了一个gist，它打印出操作序列以及每个步骤试图解决的目标，这应该补充我对Fischer-Wagner算法的解释。

为了能够理解Fischer-Wagner算法，您必须记住它属于dynamic programming算法族。这意味着它将计算更大问题的部分解决方案，存储部分解决方案并使用部分计算的结果进行下一次计算。

那么这对Fisher-Wagner算法意味着什么呢？在这种情况下，这意味着距离矩阵d的每个元素都包含最佳的操作跟踪，以使您从当前字符串A到另一个字符串B.这个解释仍然有点抽象，所以让我解释一下我的意思通过一个例子来引导你。

让我们假设您想要计算两个字符串的Levensthein距离＆＃34; ABV ＆＃34;和＆＃34; FV ＆＃34;使用Fischer-Wagner算法。然后您的距离矩阵将如下所示：

+-----+---+---+---+---+
|     |j->| 0 | 1 | 2 |
+-----+---+---+---+---+
|   i |   | # | F | V |
+-----+---+---+---+---+
|   0 | # |   |   |   |
|   1 | A |   |   |   |
|   2 | B |   |   |   |
|   3 | C |   |   |   |
+-----+---+---+---+---+

此表的第一行/列命名距离矩阵的索引，第二个名称为字符串的字符。 ＆＃39;＃＆＃39;是空字符串（即长度为零的字符串）。

此距离矩阵的每个元素都标记了您要解决的子问题。例如，条目[i = 0，j = 2]包含从空字符串到达​​的最短距离＆＃34;＆＃34;到＆＃34; FV ＆＃34;条目[i = 2，j = 1]包含问题的最短距离＆＃34; AB ＆＃34; =＆GT; ＆＃34; ˚F＆＃34 ;.

让我们将算法快速转发到子问题[i = 2，j = 2]，即如何从＆＃34; AB ＆＃34;到＆＃34; FV ＆＃34;。在这种情况下，距离矩阵看起来像这样。

+-----+---+---+---+---+
|     |j->| 0 | 1 | 2 |
+-----+---+---+---+---+
|   i |   | # | F | V |
+-----+---+---+---+---+
|   0 | # | 0 | 1 | 2 |
|   1 | A | 1 | 1 | 2 |
|   2 | B | 2 | 2 |   |
|   3 | C | 3 | 3 |   |
+-----+---+---+---+---+ 

＆＃34; 乙＆＃34;和＆＃34; V ＆＃34;不相等，这意味着我们需要执行以下三个操作之一来使它们相等：

1. 删除＆＃34; B ＆＃34;。我们将单元格的成本高于d [i = 1，j = 2]，因为我们知道这个单元格是从＆＃34; A ＆＃34获得的最便宜的操作序列; =＆GT; ＆＃34; FV ＆＃34 ;.但是，我们的问题来自＆＃34; AB ＆＃34; =＆GT; ＆＃34; FV ＆＃34;，而不是来自＆＃34; A ＆＃34; =＆GT; ＆＃34; FV 。我们知道我们可以替换＆＃34; A ＆＃34;通过＆＃34; FV ＆＃34;通过应用单元格d [i = 1，j = 2]的操作（我们之前解决了这个子问题），这给我们留下了一个字符串＆＃34; FVB ＆＃34;成本为2.然后我们删除了＆＃34; B ＆＃34; （＆＃34; FVB ＆＃34; =＆gt;＆＃34; FV ＆＃34;）我们完成了。此操作的成本为2 + 1。
2. 插入＆＃34; V ＆＃34;。类似于删除＆＃34; B ＆＃34;，只有我们将值带到左边d [i = 2，j = 1]，因为我们知道它是最便宜的操作序列来自＆＃34; AB ＆＃34; =＆gt;＆＃34; F ＆＃34;。由于我们的问题是来自＆＃34; AB ＆＃34; =＆gt;＆＃34; FV ＆＃34;，我们只需要添加费用插入＆＃34; V ＆＃34;我们完成了。
3. 替代＆＃34; B ＆＃34;用＆＃34; V ＆＃34;。与之前的案例类似。我们知道d [i = 1，j = 1]包含要更改的最便宜的操作序列＆＃34; A ＆＃34; =＆gt;＆＃34; F ＆＃34 ;.应用此操作会将我们的问题更改更改为＆＃34; FB ＆＃34; =＆gt;＆＃34; FV ＆＃34;，可以通过替换来解决＆＃34; 乙＆＃34;与＆＃34; F ＆＃34;。

在考虑了这三个选项后，我们选择最便宜的一个，即取代＆＃34; B ＆＃34; by＆＃34; F ＆＃34; （1 + 1）。

以这种方式解决所有子问题之后，输出将产生最终结果，这是＆＃34; ABC 的最小编辑距离  =＆GT; ＆＃34; FV ＆＃34 ;.

Answer 2

请注意，想象保留在列中的字符串是常量，我们需要找到保留在行中的字符串的编辑距离。例如，见这个

这里我们正在尝试计算AVERY的编辑距离！ 所以现在，子结构 DP [i] [j] = DP [i-1] [j-1]（如果G [j] == A [i]）

注意：G代表GARVEY，A代表AVERY

因为如果我们可以在k个操作中解决G [j-1]和A [i-1]的编辑距离，我们可以解决G [j]和A [i]操作（最后一个字符不需要操作）

其他明智的

DP [i] [j] =以下

的最小值

DP [i-1] [j] +1（参见我们只能从行字符串中删除（其EDIT距离将被计算！）DP [i-1] [j]表示字符串G [1。 ..j]和A [1 ... i-1]！见字符A [i]删除??）

DP [i] [j-1] +1（看到这不是删除!!我们做的是在第i + 1位添加一个角色！因此它等于G [j]（我们可以添加任何字符））

DP [i-1] [j-1] +1（我想现在这很简单，第i和第j个字符不一样，所以我们所做的就是把A [i]字符变成G [ j]个）

随意问疑惑:)