找到可能的不同非减少数组的总数

Question

鉴于确切的没有。必须存在于数组中的元素（let = r）和数组的最后一个元素的最大值（let = n）找到可能的不同非减少数组的总数（数组的所有元素必须是＆gt; = 0）

示例 - 如果r = 3且n = 2，那么一些可能的非递减数组是{0,0,2}，{0,0,1}，{0,0,0}，{1,2,2等等 我需要不。这种阵列的可能性。

我尝试使用递归和memoization来解决它，但它太慢了。

这是我的代码（ ll表示很长） -

ll solve(ll i,ll curlevel)
{
    if(dp[i][curlevel]!=-1)
        return dp[i][curlevel];
    if(i<0)
        return dp[i][curlevel]=0;
    if(curlevel==r)
        return dp[i][curlevel]=1;
    if(curlevel>r)
        return dp[i][curlevel]=0;
    ll ans=0;
    for(ll k=i;k>=0;k--)
    {
        ans+= solve(k, curlevel+1);
    }
    return dp[i][curlevel]=ans;
}

我将此功能称为如下。

for(ll i=n;i>=0;i--)
    {
        res+=solve(i, 1);
    }

我正在寻找一种更快捷的方法。

Answer 1

不是为了添加的部分：它归结为非下降顺序允许重复的组合。对于n，我们有0-n个符号（即n+1个符号）和r个长度。在中间和this answer上math.stackexchange，我们得到一个简单的公式：

Answer 2

让我们采取一些符合条件的非递减序列，并使用0和1对其进行编码。解码算法很简单：

• 将the_value设为0
• 对于编码序列中的每个元素：
  • 如果元素为0，则输出the_value。
  • 如果元素为1，则将1添加到the_value。

现在，我声称​​任何非递减序列都可以使用精确r 0的序列进行编码（因为我们需要准确输出r个值）和{ {1}} 1s（因为我们不能超过值n），并且每个这样的编码序列对应于唯一的非递减序列。 （编码算法和双射证明留作练习。）

因此，未编码序列的数量与编码序列的数量相同。但编码序列的数量只是选择n位置从编码序列中的r位置插入0的方式的数量。因此，可能性的数量为n+r选择n+r或r。

这些数字迅速增长，你需要使用bignum算法来计算它们，即使是中等大小的(n+r)!/(n!*r!)和r也是如此。例如，如果n和n都是2000，那么序列的计数是一个1203位的数字，大约是1.66 * 10 ¹²⁰² 。

显然，尝试枚举一组这样大小的序列是徒劳的。对于r和r的小值，序列可以按照每个序列的摊销时间O（1）进行枚举，使用标准的词典编纂算法，该算法采用序列并按字典顺序生成下一个序列：

1. 找到可以变大的序列中最右边的元素。 （在这种情况下，找到序列中最右边的元素不等于n。）如果没有这样的元素，则枚举所有序列。

2. 推进已找到的元素。 （在这种情况下，为元素添加1。）

3. 将所有后续元素（如果有）设置为其最小可能值。 （在这种情况下，将所有后续元素设置为步骤1中找到的元素的新值。