Question

当我在搜索Exponentiation by squaring时，我在那里得到了递归方法，但后来我偶然发现了这个伪代码，我无法完全理解。

function powermod(base, exponent, modulus) {
    if (base < 1 || exponent < 0 || modulus < 1)
        return -1

    result = 1;
    while (exponent > 0) {
       if ((exponent % 2) == 1) {
           result = (result * base) % modulus;
       }
       base = (base * base) % modulus;
       exponent = floor(exponent / 2);
    }
    return result;
}

如果你能用简单的术语给出一些见解，那将会有很大的帮助

Answer 1

代码依赖于以下事实：

x^y == (x*x)^(y/2)

循环正是这样做：将指数除以2，同时对基数求平方。

示例：

让我们考虑计算3 ^ 13的结果。您可以将指数（13）写为二进制幂的总和：3^(8+4+1)。然后：3^13 = 3^8 * 3^4 * 3^1。

二进制功率的这种分解是由代码中的%2，/2完成的，使用上面提到的基本原理。

一步一步：

您从3^13开始。在13%2==1时，您将结果乘以3，因为答案的因子为3^1。

然后将指数除以2并将基数（9^6 == 3^12）平方。如6%2==0，这意味着答案不具有因子3^2。

然后将指数除以2并将基数（81^3 == 3^12）平方。在3%2==1时，您将结果乘以81，因为答案的因子为3^4。

然后将指数除以2并将基数（6561^1 == 3^8）平方。在1%2==1时，您将结果乘以6561，因为答案的因子为3^8。

Answer 2

假设您想在Z中用y计算x ^ y。注意y = y / 2 + y％2（使用“/”作为整数除以“％”作为模数）。

a) if y == 0 then x^y=1; if y==1 then x^y=x; if y==-1 then x^y=1/x.

b) If y%2 == 0 then x^y = (x^2)^(y/2) => square x (x'=x^2), divide y by two (y'=y/2), and apply recursively the algorithm to calculate x'^y' = x^y.

c) If y%2 == 1 then x^y = (x^2)*((x^2)^(y/2)) => square x (x'=x^2), divide y by two (y'=y/2), and apply recursively the algorithm to calculate x'^y', and after x^y = x'*(x'^y').

通过这种方式，只使用整数除法和平方值，您可以计算任何指数。

示例：x ^ 19

1) 19%2==1 [rule c] => x^19=x'*(x'^9) where x' = x^2.
2) 9%2==1 [rule c] => x'^9=x''*(x''^4) where x'' = x'^2.
3) 4%2==0 [rule b] => x''^4=x'''^2 where x''' = x''^2.
4) 2%2==0 [rule b] => x'''^2 = x''''^1 where x''''=x'''^2.
5) x''''^1 [rule a] is immediate.

如果微积分是在整数mod n的有限域上完成的，那么逻辑是相同的。

<强>附录

事实上，相同的逻辑可用于更简单的微积分和更容易理解的数字乘以整数的问题：x * y。

a) if y == 0 then x*y=0; if y==1 then x*y=x; if y==-1 then x*y=-x.

b) If y%2 == 0 then x*y = (x*2)*(y/2) => multiply x by 2 (x'=x*2), divide y by two (y'=y/2), and apply recursively the algorithm to calculate x'*y' = x*y.

c) If y%2 == 1 then x*y = (x*2)+(x*2)*(y/2) => multiply x (x'=x*2), divide y by two (y'=y/2), apply recursively the algorithm to calculate x'*y', and after x*y = x'+x'*y'.

int方式，产品减少为添加和转移操作。

Answer 3

这里：

public class maths 
{

    private float Base;
    private float Exponent;
    private float Modulus;
    private float Result;


    public float powermod(float base, float exponent, float modulus) 
    {
        if (base < 1 || exponent < 0 || modulus < 1)
        {
            return -1;
        }



        while (exponent > 0) 
        {
           if ((exponent % 2) == 1) 
           {
               Result = (Result * base) % modulus;
           }

        base = (base * base) % modulus;
        exponent = floor(exponent / 2);
        }
        return Result;
    } 


    public static void main(String[] args) {
        maths m = new maths();
       System.out.println( m.powermod(0, 1, 2));
       System.out.println( m.powermod(1, 2, 3));
        System.out.println(m.powermod(3, 3, 3));
        System.out.println(m.powermod(4, 4, 4));


    }

}

通过平方来表示

3 个答案: