我想通过动画来模拟以下内容：
球在最底部的一点以一定的速度开始
一个垂直的圆形环，并在其中保持滚动直到其速度允许。
为此，我想找到速度/ x / y与时间的关系
对于例如如果球的质量：5Kg，圆环的半径= 10m，
球的初始速度为200米/秒，其速度和（x，y）位置为何
5秒后？
感谢。
答案 0 :(得分：5)
使用点球粒球滑动，无摩擦的情况
在这种情况下，我们不担心旋转能量，并假设球实际上是一个点粒子。然后，为了使球保持在顶部，必须满足向心力条件：
m * v_top^2 / r = m * g
所以
v_top = sqrt(r * g)
所以最小初始速度由下式确定：
1 / 2 * m * v0^2 >= 1 / 2 * m * v_top^2 + m * g * 2 * r
v0 >= sqrt(5 * r * g)
这与皮特所说的类似，只是他忘记了向心力条件保持在最顶层。
接下来，与轨道相切的加速度由下式给出：
a = - g * sin(theta)
但a = r * alpha = r * d^2(theta)/dt^2其中alpha是旋转加速度。因此，我们得到
r * d^2(theta)/dt^2 = g * sin(theta)
然而，我不知道这个微分方程的解析解，Mathematica也找到了一个绊脚石。你不能只将dt移到另一边并进行整合，因为theta是t的函数。我建议通过数值方法解决它，例如Runga-Kutte或Verlet method。我使用Mathematica为你给出的参数解决了这个问题，但是随着球的移动速度如此之快，它并没有真正减速。当我降低初始速度时，通过绘制theta作为时间的函数，我能够看到加速和减速。
添加其他东西，比如有限的球半径，旋转能量和摩擦力肯定是可行的，但我担心能够在继续前进之前解决这个问题，因为它从这里变得更加复杂。顺便说一句，在摩擦力的情况下，您必须为给定的材料选择一些动摩擦系数，这当然与轨道施加在球上的法向力成正比，这可以通过将力分量相加来解决。圆的半径，不要忘记包括向心力条件。
如果你以前没有做过这种物理，我绝对建议你获得一本关于物理学（有微积分）的入门好书并通过它来完成。您只需要打扰适用于力学的部分，尽管这可能是本书的一个非常大的部分。可能会有更好的路径，例如this question中的一些资源。
答案 1 :(得分：1)
如果没有加速度(x,y) =(xstart+ vx*time ,ystart + vy*time)且速度保持不变，且与半径无关
答案 2 :(得分：1)
由于速度恒定，因此角速度为omega = vel / radius。您将获得每秒球在其圆形路径上移动的弧度。
要获得t时的位置，你只需要利用极坐标：
x = x_center + sin( 3/2*PI + omega*t)*radius
y = y_center + cos( 3/2*PI + omega*t)*radius
这是因为你从圆的底部开始（所以它的3/2*PI）加上你每秒移动多少个辐射（我们从切向速度获得它）。全部乘以半径，否则你会考虑一个统一圆。
编辑：既然你想知道如何找到受到许多不同力量影响的物体的位置，我可以告诉你，物理引擎通常不关心寻找移动物体的方程。它只是考虑到它们的预期运动（如圆形运动）或环境因素（如重力或摩擦力）对物体施加力，并通过施加力并使用积分器来查看结果来逐步计算坐标。
答案 3 :(得分：1)
忽略摩擦，球上的力是重力和轨道。
首先，有两种主要情况 - 足球的速度是否足以循环：
initial energy = 1/2 m v² = 0.5 * 5 * 200 * 200
potential energy = m g h = 5 * 9.8 * 20
所以它将围绕整个循环。
最初球位于循环的底部，theta = 0
球的加速度是沿着赛道的g的分量
a = g⋅sin theta
行进的距离是theta * radius。它也是加速度与时间的双重积分。
theta ⋅ radius = double integral of acceleration against time
积分加速度一次给出速度，积分速度给出距离。
为t解决这个问题：
theta ⋅ r = ∫(∫ g⋅sin theta.dt).dt
然后你的x和y是theta的简单函数。
无论是分析还是数字解决，都取决于你。
对于动摩擦，摩擦力通常与身体上的法向力成比例。所以这将等于向心力 - 与角速度的平方成正比，以及与轨道垂直的重力分量（g sin theta）
答案 4 :(得分：0)
你没有说出你希望如何改变你的速度。你有摩擦模型吗？如果没有摩擦，则公式很简单：
length = velocity*t
x = sin(length)*radius
y = -cos(length)*radius
如果速度发生变化，则必须将长度更改为
length = integral over dt[0..t] (velocity dt)
答案 5 :(得分：0)
我想要添加的唯一内容是，如果这是质量为5kg的真实球（球体），那么它必须具有直径dia=(6*m/(PI*rho))^(1/3)，其中rho是材料的密度。对于钢（rho = 7680），直径为dia = 0.1075米。因此，球场半径（球的重心所在的半径）等于R=10-(dia/2)或R = 9.9466米。
当包含摩擦时，问题会变得复杂一些。首先，你必须考虑摩擦方向（假设干摩擦理论）。这取决于球在其轴上旋转的量，这取决于球的惯性矩。
当你进行模拟时，你可能想要监测总动能+，并确保你没有为系统增加能量（或带走）。 [不要忘记包括动能的旋转分量]
获得一本关于动力学的标准书，我相信书中已经描述了类似的问题。我会推荐“工程师的矢量机制 - 动力学”。