Question

我正在修改单源最短路径算法，在视频中，老师提到 BFS / DFS 无法直接用于查找最短路径一个加权图（我想每个人都已经知道了）并且说要自己解决这个问题。

我想知道为什么它不能用于加权图的确切原因/解释。是由于边缘的重量还是其他因素？有人可以解释我，因为我感到有点困惑。

PS：我经历了this问题和this问题。

Answer 1

考虑这样的图表：

A---(3)-----B
|           |
\-(1)-C--(1)/

从A到B的最短路径是通过C（总重量为2）。正常的BFS将直接从A路径到B路径，将B标记为可见，将A标记为C，标记为C。

在下一阶段，从C传播，B已标记为已看到，因此从C到B的路径不会被视为潜在的较短路径，而BFS将告诉您从A到B的最短路径体重为3。

您可以使用Dijkstra's algorithm代替BFS来查找加权图上的最短路径。在功能上，该算法与BFS非常相似，并且可以以与BFS类似的方式编写。唯一改变的是您考虑节点的顺序。

例如，在上图中，从A开始，BFS将处理A - > B，然后A - >; C，然后停在那里，因为已经看到了所有节点。

另一方面，Dijkstra的算法将按如下方式运作：

考虑A - ＆gt; C（因为这是来自A的最低边缘重量）
考虑C - ＆gt; B（因为这是我们到目前为止已达到的任何节点的最低权重边缘，我们还没有考虑过）
考虑并忽略A - ＆gt; B因为已经看过B了。

请注意，差异仅在于检查边缘的顺序。在转移到其他节点之前，BFS将考虑来自单个节点的所有边缘，而Dijkstra的算法将始终考虑最低权重看不见的边缘，从连接到到目前为止看到的所有节点的边缘集合 。这听起来令人困惑，但伪代码非常简单：

create a heap or priority queue
place the starting node in the heap
dist[2...n] = {∞}
dist[1] = 0
while the heap contains items:
   vertex v = top of heap
   pop top of heap
   for each vertex u connected to v:
       if dist[u] > dist[v] + weight of v-->u:
           dist[u] = dist[v] + weight of edge v-->u
           place u on the heap with weight dist[u]

来自维基百科的这个GIF可以很好地显示发生的情况：

Dijkstra

请注意，这看起来与BFS代码非常相似，唯一真正的区别是使用堆，按距离节点排序，而不是常规队列数据结构。

Answer 2

虽然这是事实，但您可以在加权图表中使用BFS/DFS，但图表中稍有变化，如果图表的权重为正整数，则可以使用{替换权重为n的边缘{1}}边缘，权重为1，中间节点为n。像这样：

n-1

将是：

A-(4)-B

并且不要在最终的BFS / DFS结果中考虑这些中间节点（如M1，M2，M3）。

这个算法的复杂度是O（V * M），M是我们边缘的最大权重，如果我们知道在我们的特定图A-(1)-M1-(1)-M2-(1)-M3-(1)-B中这个算法可以考虑，但一般来说这个算法可能没有这么好的表现。

Answer 3

<块引用>

老师提到BFS/DFS不能直接用于在加权图中寻找最短路径

对于初学者来说，DFS 不在考虑之列，并且根本不适用于最短路径。

其次，this answer 正确解释了为什么 BFS 在带循环的加权图上失败，并建议 Dijkstra's，用优先级队列替换队列，如果找到到达节点的新的、更短的路径，则允许放宽。

然而，并没有提到在加权有向无环图（加权DAG）上，Dijkstra's 是矫枉过正，可以在 O(|V|+|E|) 时间内通过放松每个顶点的拓扑顺序。这种方法也适用于具有负权重边缘的 DAG。

这是高级算法：

distances = {V: infinity for V in vertices}
predecessors = {V: None for V in vertices}

for U in topological_sort(vertices):
    for V in adjacencies(U):
        if distances[V] > distances[U] + edge_weight(U, V): # relax the edge
            distances[V] = distances[U] + edge_weight(U, V)
            predecessors[V] = U

来源：

使用BFS加权图

3 个答案: