用积分函数拟合数据

Question

当使用curve_fit中的scipy.optimize来拟合python中的某些数据时，首先定义拟合函数（例如二阶多项式），如下所示：

1. window.$
2. 然后继续进行拟合def f(x, a, b): return a*x**2+b*x

但现在的问题是，如果函数包含一个整数（或一个离散的和），如何在第1点定义函数，例如：



仍然给出了x和f（x）的实验数据，因此，一旦我可以在python中定义f（x），第2点将是类似的。顺便说一下，我忘了说这里假设g（t）具有众所周知的形式，并且包含拟合参数，即在多项式例子中给出的像a和b这样的参数。任何帮助深表感谢。问题实际上应该是通用的，而帖子中使用的函数只是随机的例子。

Answer 1

这是一个拟合用积分定义的曲线的例子。该曲线是sin(t*w)/t+p与t之间从0到Pi的积分。我们的x数据点对应w，我们正在调整p参数以使数据适合。

import math, numpy, scipy.optimize, scipy.integrate

def integrand(t, args):
    w, p = args
    return math.sin(t * w)/t + p

def curve(w, p):
    res = scipy.integrate.quad(integrand, 0.0, math.pi, [w, p])
    return res[0]

vcurve = numpy.vectorize(curve, excluded=set([1]))

truexdata = numpy.asarray([0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0])
trueydata = vcurve(truexdata, 1.0)

xdata = truexdata + 0.1 * numpy.random.randn(8)
ydata = trueydata + 0.1 * numpy.random.randn(8)

popt, pcov = scipy.optimize.curve_fit(vcurve,
                                      xdata, ydata,
                                      p0=[2.0])
print popt

这会打印出非常接近1.0的内容，这是我们在创建p时用作trueydata的内容。

请注意，我们在曲线函数上使用numpy.vectorize来生成与scipy.optimize.curve_fit兼容的矢量化版本。

Answer 2

有时候你很幸运，你能够分析地评估积分。在以下示例中，h(t)=exp(-(t-x)**2/2)和二次多项式g(t)的乘积从0到无穷大积分。 Sympy用于评估积分并生成可用于curve_fit()的函数：

import sympy as sy
sy.init_printing()  # LaTeX-like pretty printing of IPython


t, x = sy.symbols("t, x", real=True)

h = sy.exp(-(t-x)**2/2)

a0, a1, a2 = sy.symbols('a:3', real=True)  # unknown coefficients
g = a0 + a1*t + a2*t**2

gh = (g*h).simplify()  # the intgrand
G = sy.integrate(gh, (t, 0, sy.oo)).simplify()  # integrate from 0 to infinty

# Generate numeric function to be usable by curve_fit()
G_opt = sy.lambdify((x, t, a0, a1, a2), G)

print(G_opt(1, 2, 3, 4, 5))  # example usage

请注意，一般来说，问题通常是不适合的，因为积分不必在解的一个足够大的邻域中收敛（由curve_fit()假设）。