Question

我正在解决编程问题，最后问题归结为计算以下术语：

n!/(n1!n2!n3!....nm!)
n<50000
(n1+n2+n3...nm)<n

我被告知最终答案将适合8字节。我正在使用C ++。我该如何计算呢。我能够提出一些技巧，但没有具体和概括。

编辑：我不想使用外部库。

EDIT1：添加条件和结果肯定是64位int。

Answer 1

如果结果保证是整数，则使用因式表示。

通过theorem of Legendre，您可以通过范围（2，n）中素数的指数序列表达所有这些因子。

通过从分子中扣除分母中的阶乘的指数，您将获得整个商的指数。然后计算将减少到永远不会溢出8个字节的素数乘积。

例如，

25! = 2^22.3^10.5^6.7^3.11^2.13.17.19.23
15! = 2^11.3^6.5^3.7^2.11.13
10! = 2^8.3^4.5^2.7

产量

25!/(15!.10!) = 2^3.5.11.17.19.23 = 3268760

<3>的指数由

找到

25/3 + 25/9 = 10
15/3 + 15/9 = 6
10/3 + 10/9 = 4

Answer 2

如果所有输入（不一定是输出）都是由整数组成，您可以尝试计算素因子。您创建一个大小为sqrt（n）的数组，并用n：

中每个素数因子的计数填充它

vector <int> v = vector <int> (sqrt(n)+1,0);
int m = 2;
while (m <=n) {
    int i = 2;
    int a = m;
    while (a >1) {
        while (a%i ==0) {
            v[i] ++;
            a/=i;
        }
        i++;
    }
    m++;
}

然后迭代n_k（1＆lt; = k＆lt; = m）并减少每个素因子的计数。这几乎与上面的代码相同，只是你用v [i] - 替换v [i] ++。当然，您需要使用先前获得的矢量v来调用它。

之后，向量v包含表达式中素数因子的计数列表，您只需将结果重建为

int result = 1;
for (int i = 2; i < v.size(); v++) {
    result *= pow(i,v[i]);
}
return result;

注意：你应该使用long long int而不是int，但为了简单起见我坚持使用int

编辑：正如另一个答案中所提到的，最好使用勒让德定理更快地填充/取消矢量v。

Answer 3

你可以做的是使用对数的属性：

log(AB) = log(A) + log(B)

log(A/B) = log(A) - log(B)

和

X = e^(log(X))

因此，您可以先计算数量的对数，然后取幂：

log(N!/(n1!n2!...nk!)) = log(1) + ... + log(N) - [log(n1!) - ... log(nk!)]

然后展开log(n1!)等等，这样你就可以用单个数字的对数来编写所有内容。然后取结果的指数来获得阶乘的初始值。

As @ T.C。提到，这种方法可能不准确，尽管在典型的情况下，你会减少许多术语。或者，您将每个阶乘扩展为一个列表，该列表将术语存储在其产品中，例如： 6!将存储在列表{1,2,3,4,5,6}中。您对分母术语也这样做。然后开始删除常用元素。最后，您可以使用gcd并将所有内容减少为互质因子，然后计算结果。

使用基本数据类型

3 个答案: