概述

Question

我有一个3D实体，表示为一组多面体凸壳的联合。（或者单个凸起，如果这样可以使事情变得更容易。）我想将该实体近似为一组球体的并集，以最小化集合中球体的数量和近似中的误差。（后一个目标是刻意模糊的：任何合理的误差度量都可以。同样，目标组合的方式在空中;要么球体的数量或误差度量可能受到限制，要么两者的某些功能可以最小化。我不想把自己指定到一个角落。）

近似值不需要完全包含或完全包含在原始集合中。每个球体可以具有任意半径。

这感觉就像NP完全的那种问题，并且在任何情况下使用精确方法都不太可行，所以我假设解决方案在于随机优化领域。感觉k-means的某些变体可能适合（将未覆盖的位置分配给它们最近的球体，并精炼球体以覆盖其中的一些），但我不确定如何处理多重覆盖的位置，或者如何找到局部的，不一定是覆盖 - 即使对于单个球体也是最佳的。此外，对于迭代方法，效率很重要，并且执行3D布尔操作不会有效。

Answer 1

问题并不简单，但之前已经研究过。中心概念是medial axis，可以是被无限的球联合视为一个物体的表现。解决您问题的关键文章是：

“力量外壳，球的联合和内轴转换。” Nina Amenta，Sunghee Choi，Ravi Krishna Kolluri。 计算几何。第19卷，第2-3期，2001年7月，第127-153页。（Journal link。）

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（图片来源：From Point Clouds to Power Crusts。）

第二篇论文是

Cazals，Frédéric，et al。 “用于球的集合的贪婪几何算法，应用于几何近似和分子粗粒化。” 计算机图形论坛。卷。 33. No. 6. 2014.（PDF download。）

其第一句是“选择最接近3D物体的球是一个非平凡的问题。”！它们的主要应用是分子模型，这可能是远远不够的从你的兴趣。

Answer 2

嗯，到目前为止，我最好的想法是支持向量机。将对象转变为对象表面内和表面上的一大堆（可能是均匀间隔的）点。使用线性内核训练SVDD模型（有关SVDD实现，请参阅libsvm）。然后，模型的决策函数表示由模型（和rho）的支持向量定义的隐式表面。降低成本将为您提供更多的支持向量，将其提高可以减少您的需求。

不幸的是，SVM的本质是这样的，附近的支持向量覆盖的区域，呃，'blob'在一起，有点像这样：

enter image description here

（对不起，我对SVM的直觉完全是几何/视觉的。）

现在，你没有漂亮的清脆球体，但是（大手挥手！）希望算法选择一个有用的球体中心分布。

最后，你可以编写一个函数来计算误差，作为所有这些点上的球体中心的半径函数。然后将其输入非线性优化器并告诉它最小化。的Bam

如果你愿意为它投入更多的CPU能力，你可以在那个之上运行另一层错误最小化，这会重新运行整个上述过程以获得不同的支持向量成本，试图最小化错误和成本。（也许是error/cost。）

Answer 3

这就是我想出的。这种方法更像是一种迭代的3D布尔操作，因此它可能不是您正在寻找的。表面似乎更难，所以我专注于此。

概述

基本上在形状内添加球体，使球体的覆盖范围最大化。我们将球体转换为带符号字节值的3D数组。这些值是点，并将与球体吞噬。我们在对象内部一次添加一个球体，然后在不同的方向上生长/缩小它，以便进入＆＃34;吃掉＃34;尽可能多的积分。目标是为每个球体提供尽可能多的点数。通过对球体区域中的点求和来获得积分。通过添加每个球体，我们计算然后计算所使用的区域，并将Array值设置为0.

  (A)       (B) ZZZZZZ   (C) ZZZZZZ   (D) ZZZZZZ   (E) ZZZZZZ   (F) ZZZZZZ   
     /\         ZX33XZ       ZX33XZ       ZX33XZ       ZX33XZ       ZX33XZ   
    /  \       ZX3223XZ     ZX3223XZ     ZX##23XZ     ZX  ##XZ     ZX    XZ  
   /    \     ZX321123XZ   ZX321123XZ   ZX####23XZ   ZX  ####XZ   ZX      XZ 
  |      |   ZX32111123XZ ZX32111123XZ ZX######23XZ ZX  ######XZ ZX        XZ
  |      |   ZX32111133XZ ZX32111133XZ ZX######23XZ ZX  ######XZ ZX        XZ
  |      |   ZX32222223XZ ZX##222223XZ ZX3####223XZ ZX3  ####3XZ ZX3     ##XZ
  |------|   ZX33333333XZ ZX##333333XZ ZX33##3333XZ ZX33  ##33XZ ZX33    ##XZ
   X= -1     ZXXXXXXXXXXZ ZXXXXXXXXXXZ ZXXXXXXXXXXZ ZXXXXXXXXXXZ ZXXXXXXXXXXZ
   Y= -2     ZZZZZZZZZZZZ ZZZZZZZZZZZZ ZZZZZZZZZZZZ ZZZZZZZZZZZZ ZZZZZZZZZZZZ

（A）我们想要填充的形状。（2D在这里使用但3D会相似）

（B）在3D网格点中转换形状。 Surface获得最大数量，当你工作到中心时，数字以低正数结算（如1）;形状之外得到负数;深的内部得到1

（C）添加一个小球体。（我们会成长）

（D）展开球体，直到我们吞噬最大点数

（E）添加下一个球体并使其长大。

（F）添加另一个球体。这个很小。

过程

5）首先将形状分解为3D块分辨率。

10）然后给出最多的＆＃34;积分＆＃34;到了表面周围的块。当您向内或向外移动时，实际接触表面和较低点的块的高点。当你向外走时，积分应该很快变成负值，因为这会阻止突出的球体。当你从地面向内移动时，点应该稳定在1，这样中心区域就是全部。可以通过不同方式设置这些点以产生不同的结果。

15）在球体外部的形状内边缘找到一个位置。虽然不需要靠近边缘，但它确实最小化了搜索区域。如果找不到位置goto 80.如果找不到附近的位置

20）在未覆盖的形状内绘制半径为零的球体

25）向上/向下移动球体直到点最大化（模拟退火）

26）将球体移入/移出直到点最大化

27）向左/向右移动球体直到点最大化

28）向上/向下移动球体顶部直到点最大化（模拟退火/爬山）

29）向上/向下移动球体的底部直到点最大化

30）将球体的左侧移入/移出，直到点最大化

31）将球体的右侧移入/移出，直到点最大化

32）将球体的前部移入/移出，直到点最大化

50）如果25-32有任何变化，则重复（转到25）

70）从最后添加的球体中减去点数。对于内部值（正数），将所有值设置为零，不调整外部值（负数）。转到15。

80）（可选）填写内部空白。基本上访问每个元素以确保它小于或等于0.如果为正，则使用该元素转到20。否则，如果没有找到则转到85.注意：所有外部值都应为负值，并且球体内的所有内部值都应为0.

85）完成

备注

由于存在值网格，因此1000x1000x1000工作空间将耗尽1GB。
不是一个确切的解决方案
可以为更高分辨率进行大量计算。
为了提高效率，较小的球体可以预先记录其像素范围，这样就不需要为每次迭代计算球体。
可以首先完成较低分辨率（即500x500x500）的版本，然后可以将球体的位置和大小应用于更大的1000x1000x1000。对于非常大的形状，也可以解决子部分。

Answer 4

一个好的开始是开发一个算法：

1）找到内切球体的最大半径。

2）然后考虑减去体积

3）用多面体近似减去体积。

4）将多面体细分为更小（更精细）的多面体。

5）重做步骤1.

可能会有一些变化，但它似乎回答了你的问题。正如您所看到的，误差函数随着球体数量的增加而减少，因此您无法将两者最小化：这是一种权衡。但你可以修复一个并尝试优化另一个，例如将误差函数固定为可接受的公差，并最小化要执行的球体数量，反之亦然。

通过球体的联合近似实体

4 个答案:

概述

过程

备注