“atan”函数在不动点的逼近

Question

我必须做一些需要使用三角函数的计算，尤其是atan函数。代码将在Atmega328p上运行，为了提高效率，我无法使用float：我使用定点数。因此，我无法使用标准的atan函数。

具有以定点格式s16_10（带符号，16位宽度，第10位的点）取值的函数，并返回s16_6格式。输入将介于0和1之间（因此0和2 ¹⁰ ），因此输出（以度为单位）将介于-45和45之间（所以-45 * 2 ⁶ 和45 * 2 ⁶ ）。

让我们说Y是固定点，y是s16_6表示，弧的实际角度，x是atan(x) = y，X是x16的s16_10表示。我首先用{4}多项式近似atan函数，从（0,1）到（-45,45），发现我们可以使用：

y ~= 8.11 * x^4 - 19.67 * x^3 - 0.93 * x^2 + 57.52 * x + 0.0096

导致：

Y ~= (8.11 * X^4)/2^34 - (19.62* X^3)/2^24 - (0.93 * X^2)/2^14 + (57.52*X)/2^4 + 0.0069 * 2^6

而且我被卡住了......一方面，计算X^4将导致定义区间的五分之一为0，另一方面为2 ⁿ⁴ {3,2,1} 中的 _{n通常也会导致零值...我该怎么办？}

Answer 1

一些被截断为零的术语不一定是灾难;这并没有大大恶化你的近似值。我通过将多项式的每个项舍入到最接近的整数来模拟Matlab中的固定精度设置：

q4 = @(X) round((8.11 * X.^4)/2^34);
q3 = @(X) -round((19.62* X.^3)/2^24);
q2 = @(X) -round((0.93 * X.^2)/2^14);
q1 = @(X) round((57.52*X)/2^4);
q0 = @(X) round(0.0069 * 2^6);

确实，在区间的前五分之一[0,2 ¹⁰ ]中，术语q4，q3，q2看起来相当不稳定，而q4基本上不存在。

但这些舍入的效果与你的多项式近似atan的理论误差大小相同。下面的图是红色是差值（多项式 - atan）计算没有舍入到整数，绿色是差值（q4 + q3 + q2 + q1 + q0-atan）：

正如您所看到的，舍入不会使逼近变得更糟;在大多数情况下，它实际上通过一次快乐事故减少了错误。

我注意到你的多项式系统地过高估计了atan。当我用Matlab将4次多项式拟合到[0,1]时，系数略有不同：

8.0927  -19.6568   -0.9257   57.5106   -0.0083

即使将这些数据截断为两位有效数字，我也会得到更好的近似值：

(8.09 * X^4)/2^34 - (19.66* X^3)/2^24 - (0.93 * X^2)/2^14 + (57.52*X)/2^4 - 0.0083 * 2^6

这次截断到整数确实会使事情恶化。但是可以预期，将几个中间结果四舍五入为整数的计算结果将偏离+ -2左右。用这个多项式表示的+ -0.5的理论精度不能用给定的算术工具来实现。