Question

在下面的代码中，Agda接受μ₁的定义作为严格正面的函子，这是有道理的。如果我通过产品打结，如μ₂，它仍然被接受。但是，如果我尝试通过向量，如μ₃，则不再接受它。

data F : Set where
  X : F

⟦_⟧₁ : F → Set → Set
⟦ X ⟧₁ A = A

data μ₁ (f : F) : Set where
  Fix₁ : ⟦ f ⟧₁ (μ₁ f) → μ₁ f

open import Data.Product

⟦_⟧₂ : F → (Set × Set) → Set
⟦ X₁ ⟧₂ (A , _) = A

open import Data.Unit

data μ₂ (f : F) : Set where
  Fix₂ : ⟦ f ⟧₂ (μ₂ f , ⊤) → μ₂ f

open import Data.Nat
open import Data.Vec

⟦_⟧₃ : ∀ {n} → F → Vec Set (suc n) → Set
⟦ X ⟧₃ (A ∷ _) = A

data μ₃ (f : F) : Set where
  Fix₃ : ⟦ f ⟧₃ [ μ₃ f ] → μ₃ f

μ₃的错误消息是

μ₃ is not strictly positive, because it occurs
in the third argument to ⟦_⟧₃
in the type of the constructor Fix₃
in the definition of μ₃.

μ₂和μ₃之间的根本区别是什么？有没有办法让μ₃工作？

Answer 1

我大多猜测。 _×_是record，Vec是data。当μ₂被定义为_×_时，Agda拒绝data：

data Pair (A B : Set₁) : Set₁
  where pair : A -> B -> Pair A B

⟦_⟧₃ : F → Pair Set Set → Set
⟦ X ⟧₃ (pair A _) = A

data μ₃ (f : F) : Set where     
  Fix₃ : ⟦ f ⟧₃ (pair (μ₃ f) ⊤) → μ₃ f

“μ₃中的结果并非严格正面，因为它会发生......”。但是，如果您将⟦_⟧₃定义为

⟦_⟧₃ : F → Pair Set Set → Set
⟦ X ⟧₃ _ = ⊤

或

⟦_⟧₃ : F → Pair Set Set → Set
⟦ _ ⟧₃ (pair A _) = A

然后一切正常（您的μ₂有点误导，因为F上也没有模式匹配）。在第二种情况下，Agda只是将表达式规范化，因为第一个参数上没有模式匹配，第二个参数在WHNF中，所以⟦_⟧₃完全被消除。但我不知道，Agda如何解决第一起案件。我想是一些特别的东西。

您的μ₂类型检查，因为Agda eliminates pattern matching on records：

map : {A B : Set} {P : A → Set} {Q : B → Set}
      (f : A → B) → (∀ {x} → P x → Q (f x)) →
      Σ A P → Σ B Q
map f g (x , y) = (f x , g y)

上述条款内部翻译成以下条款：

map f g p = (f (Σ.proj₁ p) , g (Σ.proj₂ p))

所以就像

一样

⟦_⟧₃ : F → Pair Set Set → Set
⟦ X ⟧₃ _ = ⊤

情况。

此外，如果您删除第一个参数上的模式匹配，⟦_⟧₃将进行类型检查。

<强>更新

不，这不是模式匹配消除，因为这个定义

data Pair (A B : Set₁) : Set₁
  where pair : A -> B -> Pair A B

fst : ∀ {A B} -> Pair A B -> A
fst (pair x y) = x

⟦_⟧₃ : F → Pair Set Set → Set
⟦ X ⟧₃ p = fst p

data μ₃ (f : F) : Set where     
  Fix₃ : ⟦ f ⟧₃ (pair (μ₃ f) ⊤) → μ₃ f

也被拒绝了。

通过产品与向量进行时保持仿函数积极性

1 个答案: