Question

我正在努力为以下问题找到一个好的算法：

输入：n个整数的未排序列表
输出：p（大致）相等大小的未排序列表，其中每个列表的每个最小元素都大于其前面列表中的最大元素

目标是对输出进行分层，例如，在p = 3的情况下，我得到3个无序的小数，中数和大数列表（按此顺序）。

例如：

n = 10，p = 3

输入：[4,1,8,7,9,3,6,0,2,5]
输出：[[1,0,2]，[4,3,6,5]，[8,7,9]]

显然我可以在O(n*log(n))时间通过简单排序然后分区来做到这一点，但我想知道这是不是可以在线性时间内完成。我知道QuickSelect在预期的O(n)平均情况下运行，所以我的直觉是这个问题应该在O(p*n)时间内解决。

天真地我认为你可以简单地运行QuickSelect p次，连续找到下一个第k个最小元素，然后对每个元素执行类似基数的排序，以通过原始步骤中识别的p个分支对元素进行分区

所以：

我不确定我概述的算法是否正常工作
我不确定确实需要O(p*n)
即使是O(p*n)，我也不确定这是一个最佳的复杂性（虽然我怀疑它是，因为它似乎在p = 1和p = n）的边缘情况下工作
不是很好优雅

有更好的算法吗？

由于

Answer 1

QuickSelect实际上是一种分区算法，因此在QuickSelecting之后不需要额外的步骤。

假设我们有一个函数Partition（arr，lo，hi）返回一些k，lo <= k < hi并重新排列arr，arr[i] <= arr[k] if {{1} {}}和i < k if arr[k] <= arr[i]。然后，从本质上讲，QuickSelect是：

k < i

这与QuickSort非常相似：

# After this call:
#   arr[i] <= arr[med] if lo <= i < med
#   arr[med] <= arr[i] if med < i < hi
QuickSelect(arr, lo, med, hi):
  if lo < hi:
    k = Partition(arr, lo, hi)
    if med < k:
      QuickSelect(arr, lo, med, k)
    else if k < med:
      QuickSelect(arr, k + 1, med, hi)

由于QuickSelect在指定点对数组进行分区（这不仅仅是找到相关元素），我们可以轻松地将Stratify定义为对QuickSelect的重复调用：

QuickSort(arr, lo, hi):
  if lo < hi:
    k = Partition(arr, lo, hi)
    QuickSort(arr, lo, k)
    QuickSort(arr, k + 1, hi)

由于QuickSelect为Stratify(arr, n, p): for i from 0 to p - 2 (inclusive): QuickSelect(arr, floor(i * n / p), floor((i+1) * n /p, n)，因此上述分层为O(n)。只排序数组的选项需要O(p*n)，因此如果O(n log n)不在p中，则上述分层很有用。（由于O(log n)是一个很小的数字，实际上很可能排序是优越的。）

然而，很容易将分层结合到QuickSelect中，这是一种我们称之为QuickStratify的算法。 QuickStratify将QuickSort完成到数组分层的程度：

为方便起见，报告给定索引属于哪个层的函数：

log n

现在：

Stratum(i, n, p): floor(i * p / n)

我很确定QuickStratify是平均时间QuickStratify(arr, n, p, lo, hi): if Stratum(lo, n, p) < Stratum(hi, n, p): k = Partition(arr, lo, hi) QuickStratify(arr, n, p, lo, k) QuickStratify(arr, n, p, k + 1, hi)，但我没有方便的证据，我可能错了。

Answer 2

你的算法看起来不错。我唯一的狡辩是，我无法看到你如何能够执行类似基数的排序＆＃34;你说说。对于每个值x，您需要确定它进入哪个p槽，并且因为这些槽似乎没有非常特殊的结构（与常规基数排序不同，它们对应于某些固定的倍数）值）我认为你需要每个值进行O（log p）比较。

假设只使用比较，你不能比O（n log n）做得更好，因为如果可以的话，你可以通过设置p = n来排序n个优于O（n log n）的数字n并运行此算法。

另请注意，如果某个值可以多次出现，则生成的子集可能会被任意不平衡。（如果你在你的条件下使用严格的＆＃34;大于＆＃34;这种可能性是不可避免的。）

最后，如果关注最坏情况的表现，则会有worst-case linear algorithm for selection。它有一个很大的常数，请注意，如果您的输入是异常模式或来自潜在的敌对来源，请考虑它。

将列表分层为无序分区

2 个答案: