Question

我所问的不是this very popular question的副本。对于随机选择的输入，可以进行一些快速测试，如果他们不能说“不是正方形”，则必须进行平方根的一些计算（我自己也尝试了solution）。

当要测试的数字来自简单序列时，情况会有所不同，因为可以使用先前的（近似）平方根。对于一个简单的序列，它也是微不足道的，例如，

long sqrt = 1;
for (long i=1; i<limit; ++i) {
   if (sqrt*sqrt == i) {
       handleSquare(i);
       ++sqrt;
   }
}

我的问题是如何为更复杂的序列做些什么，比如

x[i] = start + i*i;

或

x[i] = start - i*i*i;

我正在考虑牛顿的方法，但我看不出如何快速实现（因为除法是一项非常昂贵的操作）。

Answer 1

您希望将哪种序列应用于算法？下面是一个解决方案，当x [i]发散但不会太快时应该可以正常工作。

例如

x[i] = a*i^p + o(i^p)

而且我足够大你会有

x[i+1]-x[i] ~ p * a * i^{p-1}.

如果y [i]表示最大的整数，那么

y[i]^2 <= x[i]

然后你有

y[i] ~ sqrt(a) i^{p/2}

和

y[i+1]-y[i] ~ 1/(2 y[i]) * (x[i+1]-x[i]) ~ p/2 * sqrt(a) i^{p/2-1}

所以你可以把它当作y [i + 1]的猜测，然后更新到正确的值，这可以节省你一些迭代。

通常，您始终可以使用公式

y[i+1]-y[i] ~ 1/(2 y[i]) * (x[i+1]-x[i])

作为猜测但这仅在x [i + 1] -x [i]相对于y [i] ^ 2小时 - 即相对于x [i]时才有用。使用（精确）二阶扩展

对公式进行一点改进也是值得的

y[i+1]^2 = y[i]^2 + 2y[i](y[i+1]-y[i]) + (y[i+1]-y[i])^2

为了改善y [i + 1]的猜测。

请注意，如果当i很大或者x指数快速偏离时x [i]仍然有界，这将无法正常工作。