Question

我有一个关于计算精度的问题 - 它更像是编程背后的数学理论。

我有一个给定的浮点数X以及该数字的四舍五入，精确到10^(-n)小数位：X'。现在，我想知道，如果在计算指数函数后：y=2^(x)，我的数字和舍入数字之间的差异将保持在相同的精度水平。我的意思是：

|2^(X)-2^(X')|处于10^(-n-1)

级别

Answer 1

指数放大相对误差，并且通过扩展，放大ulp误差。考虑这个说明性示例：

float x = 0x1.fffffep6;
printf ("x=%a %15.8e  exp2(x)=%a %15.8e\n", x, x, exp2f (x), exp2f(x));
x = nextafterf (x, 0.0f);
printf ("x=%a %15.8e  exp2(x)=%a %15.8e\n", x, x, exp2f (x), exp2f(x));

这将打印类似

的内容

x=0x1.fffffep+6 1.27999992e+02  exp2(x)=0x1.ffff4ep+127 3.40280562e+38
x=0x1.fffffcp+6 1.27999985e+02  exp2(x)=0x1.fffe9ep+127 3.40278777e+38

结果中的最大ulp误差与所用浮动格式的2 ^指数位处于同一数量级。在此特定示例中，IEEE-754 float中有8个指数位，输入中的1 ulp差异转换为结果中的176 ulp差异。参数的相对差异约为5.5e-8，而结果的相对差异约为5.3e-6。

一种简化，直观的思考这种放大的方法是，在浮点参数的有效位数/尾数中的有限位数中，有些只对结果的大小（因此是指数位）有贡献（在这个例子中，这些是表示127）的整数部分的位，而剩余的位对结果的有效位/尾数位有贡献。

如果从数学上看，如果原始参数x = n *（1 +ε），那么e ^x = e ^{n *（1 +ε）} = e ⁿ * e ^{n *ε}≈eⁿ *（1 + n *ε）。因此，如果n≈128，ε≈1e-7，则预期的最大相对误差约为1.28e-5。

指数函数后的计算精度

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