有序格点枚举

Question

设置：设ei是n维欧氏空间的正交基，但假设ei具有无理（L1）范数。设L是通过将ei与自然数（包括零）中的系数进行线性组合而获得的点集​​。现在首先按照L1范数对L中的点进行排序，然后按字典顺序排列。

问题：是否有一种有效的算法可以按升序生成L中的点，直到达到某个预定义的界限？请注意，我不想生成点然后对它们进行排序，而是我想按顺序遍历晶格。

观察：如果ei是标准正交基，这很容易做到。例如，此问题已解决here。原则上类似的东西可以在这里工作，但是确定迭代的半径几乎和解决枚举问题一样难，所以它不是很有用。

Answer 1

这个怎么样：

设L 1和L 2是矢量列表，其中L 1是访问/处理的点阵矢量列表，L 2是接下来将访问的矢量列表。

1. 设置L 1 = {}和L 2 = {[0]}，其中0是零向量。
2. 设v是L 2中第一个列表的最小向量。
3. 访问/处理矢量v。
4. 将列表L = {v + e 1，...，v + e _n }添加到L 2，以便列表按其最小元素排序。只要其范数小于预定范围，就生成v + e _i 。
5. 在L 1的末端插入v并将其从第一个列表L 2的前面移除。
6. 如果第一个列表现在为空，请将其从L 2中删除。如果没有，请将其移至正确的位置。
7. 如果L 2不为空，请转到2。

此算法要求e _i 按小标准从小到大排序。

该算法每轮最多将n个向量加到L 2。设B是你预定义的上界，那么你将访问最多n个 ^k -1个向量，其中k = 1 + B / || e 1 ||。第一个ca. n ^k＆＃39; 轮，列表的大小为n，其中k＆＃39; = B / || e _n ||。因此总的来说，你必须存储少于N = n ^k＆＃39; +（n ^k -1）/（n ^{k＆＃39; +1 < / sup>）列表。您可以在O（n）中生成一个新列表，并将其添加到L 2中的O（log N）中（二进制搜索正确的位置并将其插入到那里）。}

所以整体复杂性会像O（N⋅n⋅logN），但请注意N是你要找的向量的数量。

注意：很可能有一个更快的算法，但这是你可以尝试的。