Question

我想我在the hackage article for Control.Applicative中发现了一个缺陷。作为应用仿函数法的描述，它说：

class Functor f => Applicative f where
带有应用程序的仿函数，提供操作   嵌入纯表达式（pure）和序列计算并组合它们的结果（<*>）。

最小完整定义必须包括满足以下法则的这些函数的实现：

身份
pure id <*> v = v
组合物
pure (.) <*> u <*> v <*> w = u <*> (v <*> w)
同态
pure f <*> pure x = pure (f x)
交换
u <*> pure y = pure ($ y) <*> u

（请注意，这并未说明有关fmap的任何内容）并且它声明这些法律确定了Functor实例：

作为这些法律的结果，f的Functor实例将满足
fmap f x = pure f <*> x

我一开始觉得这显然是错的。也就是说，我猜测必须存在满足以下两个条件的类型构造函数t：

t是Applicative符合上述规则的实例，
instance (Functor t)有两种不同的实现方式（即有两个不同的函数fmap1, fmap2 :: (a->b) -> (t a->t b)，满足算子法则。）

如果（且仅当）上述内容正确无误，则必须将上述语句重写为

f的Functor实例必须满足

fmap f x = pure f <*> x

由于这些法律，这符合Functor法律。

这显然是正确的，无论我的猜测是否正确。

我的问题是 ：我的猜测正确吗？是否有t具有所需条件？

以下是我自己在尝试回答这个问题时的想法。

如果我们仅仅是数学家对实际的Haskell编程不感兴趣，我们可以轻松肯定地回答这个问题。事实上，

t = Identity newtype Identity a = Identity {runIdentity :: a}

符合上述要求1和2（事实上，几乎所有事情都可以）。实际上，Identity只是Functor和Applicative的一个实例，如Data.Functor.Identity中所定义。（这满足fmap f = (pure f <*>)。）要定义instance (Functor f)的另一个“实现”，请为每种类型a选择两个函数

transf_a, tinv_a :: a -> a

这样

tinv_a . transf_a = id

（这是理论上设置，很简单）。现在定义

instance (Functor Identity) where fmap (f :: a->b) = Identity . transf_b . f . tinv_a . runIdentity

这符合Functor法律，如果有
，则与琐碎的法律不同
x :: a f :: a -> b

这样

f x /= transf_b $ f $ tinv_a x

但我们是否可以在Haskell中完成这一点并不明显。是这样的：

class (Isom a) where transf, tinv :: a -> a instance (Isom a) where transf = id tinv = id specialized instance (Isom Bool) where transf = not tinv = not

可能在Haskell？

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我忘了写一些非常重要的东西。我认为Control.Applicative是GHC基础包的一部分，所以我也对我的问题的答案是否会因任何GHC语言扩展而改变感兴趣，例如FlexibleInstances或OverlappingInstances还不明白。

Answer 1

Haskell中的任何类型最多只能有Functor的一个实例，因此您的猜测不正确：对于没有类型t，可以存在两种不同的instance (Functor t)实现{1}}。请参阅：http://article.gmane.org/gmane.comp.lang.haskell.libraries/15384

Answer 2

a -> a类型的属性只有两个居民，即id :: a -> a（定义为id x = x）和bottom :: a -> a定义为{{1} }}。

如果我们仅将第一种情况局限于“合理”，我们得出一个重要的数学定理，即至少有一个bottom = error "Infinite loop."类型的函数fmap满足{{1} }和forall a. forall b. (a -> b) -> f a -> f b。

如果我们不这样做，那么你是对的，我们有一个案例fmap id = id而另一个案例fmap f . fmap g = fmap (f . g)。但那有点俗气。

Haskell：关于hackage Control.Applicative文章中应用函子法的描述中的缺陷？：它说Applicative确定了Functor

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2 个答案: