创建不再有一个交叉元素的组合

Question

我希望创建一种特殊类型的组合，其中没有两个集合具有多个交叉元素。让我用一个例子来解释：

我们说我们有9个字母集，其中包含A，B，C，D，E，F，G，H和I

如果您创建三个字母的标准非重复组合，您将拥有9C3集。 这些将包含ABC，ABD，BCD等集合。我希望创建最多只有1个常用字母的集合。所以在这个例子中，我们将获得以下集合：

ABC，ADG，AEI，AFH，BEH，BFG，BDI，CFI，CDH，CEG，DEF和GHI - 请注意，如果您选择任意两套，则不超过1个重复字母。

生成此类集合的好方法是什么？它应该是可扩展的解决方案，以便我可以为一组1000个字母执行此操作，子集大小为4。

非常感谢任何帮助。

谢谢

Answer 1

Answer 2

我必须添加另一个答案，因为另一个答案已经太长了。

如果您有以下限制条件：

1）你需要每周4人组。

2）某一周的每个小组都是不相交的，每个学生只有一个小组。

3）如果两个学生在同一组，他们将来不需要在同一组。

如果您按如下方式构建图G：

1）每个学生都是一个节点。

2）如果他们之前没有在一个小组中，那么两个学生就会有优势。

随着学生随意下降/加入，这成为一个难题！即使您从最初的图表开始，几周之后，图表也会变得非常难以预测。

你的问题：你需要找到G的生成子图，这样它就是K_4副本的联合，换句话说就是K_4s的分区。

不幸的是，看起来这个问题是NP-Hard：精确覆盖4组（NP-Complete）可以减少到你的问题（就像3套的精确覆盖可以减少分成三角形）

也许这有助于提供一些aproximation算法：http://www.siam.org/proceedings/soda/2010/SODA10_122_chany.pdf

（您的问题可以简化为Hypergraph匹配，因此可以将算法用于您的问题。）

确切封面：http://en.wikipedia.org/wiki/Exact_cover

分成三角形：https://noppa.tkk.fi/noppa/kurssi/t-79.5103/viikkoharjoitukset/T-79_5103_solutions_5.pdf

精确覆盖4组=给定大小为4m的集合S和S的4元素子集的集合C，是否存在C的子集C'，使得S的每个元素在C'中恰好出现一次

不幸的是，您可能不得不改变一些限制。

Answer 3

以下是该算法的一些概要。

1. 首先找到所有对： AB BC CD DE EF FG GH HI AC BD CE DF EG FH GI AD BE CF DG EH FI AE BF CG DH EI AF BG CH DI AG BH CI AH BI AI

这些可以存储在sixe n（n-1）

的数组中

1. 现在开始尝试使用以下规则组合连续对： 一个。只有存在共同字符时才能组合两对。 湾当通过保留共同特征形成的对也可用时，该组合是可能的。例如如果我们想要结合AB和AC，那么我们需要检查BC是否也可用。 C。当满足上述规则时，我们将两对组合成三元组（例如AB和AC合并形成ABC），并将所有三对标记，例如AB，AC和BC标记为不可用。

2. 继续这样做，寻找数组中的可用对，并将它们合并形成三元组，并标记对不可用，直到没有可用的对或不再形成三元组。

实施例： 1.结合AB + AC - > ABC; Mark AB，AC和BC不可用。 2.结合AD + AE - ＆gt; AED;标记AD，AE和DE不可用。 3.组合AF + AG - ＆gt; AFG; Mark AF，AG和FG不可用。 ..

Answer 4

这是一种满足您所述要求的方法。是否做你想要的我不知道。

1. 在一张大纸上绘制一个至少有250个正方形的规则网格。
2. 用字母表中的字母标记正方形的边（250格x 4边== 1000）。
3. 每个方块定义一个子集。每个只与每个（最多）4个邻居共享一侧（即一个字母）。没有一方（即字母）由超过2个方格（子集）共享。

我会让你把它变成工作代码，但我不认为它应该太难，它应该很好地扩展。请注意，它也适用于任何其他大小的子集，您可以使用不规则的n-gons为任何n平铺平面，尽管可能会变得困难。

我想到的另一种方法是：

1. 在一张大纸上画N点，其中N是字母表的大小。用字母表中的一个字母标记每个点。
2. 连接任意n个点，其中n是所需子集的大小。那是你的第一个子集。
3. 选择一个已连接的点，将其连接到（n-1）个未连接的点。那是你的下一个子集。
4. 重复步骤3直到完成。

这需要更多的簿记，并且有许多需要处理的角落案例，但是再次编写代码并不困难。

编辑：很容易将我的第一种方法转换为一种形式，这种形式更明显是图形上的算法。将每个子集建模为节点，并将字母表中的每个字母作为边缘。构造一个图，其中每个节点都有度n（子集中的元素数），每个字母（边）使用一次。

Answer 5

@khuss

可以推广相同的方法。但它不是线性算法，可能是指数级的。

例如：当子集大小为4时，我们选择2对或更多对，其中包含4个唯一字符。

e.g。只有满足以下条件时，“AB和CD”或“AB，AC＆amp; AD”：

1. 所有由4元组字符组成的对都可用。例如如果我们想用AB，AC＆amp; amp;然后AD然后所有的对A，B，C＆amp; D即AB，AC，AD，BC，BD，CD都必须可用。
2. 如果满足条件1，那么我们形成ABCD并将C（4,2）= 6对标记为不可用。

我们继续像往常一样，直到不再形成4元组或者没有更多对可用。