Question

这是一个可以通过某种类型的暴力算法来解决的问题，但我想知道是否有一些有效的方法可以做到这一点。

假设我们有以下整数对

 (1, 3), (2, 5), (4, 7), (2, 7), (10, 9)

我们想弄清楚互斥对的最大数量是多少。

互相配对，我的意思是它们没有任何配对常用整数。

例如，我们不能同时选择（2,5），（2,7），因为两个对都包含2个。

在上述情况下，4将是一个解决方案，因为我们可以选择以下互斥对：

      (1, 3), (2, 5), (4, 7), (10, 9)

因此总共有4对。

我想知道是否有有效的方法。

Answer 1

您的问题相当于在图表上找到最大匹配。图形的节点是整数，您的对（a，b）是图形的边缘。匹配是一组成对的非相邻边，相当于说同一个整数不会出现在两条边上。

这个问题的多项式时间解决方案是Blossom algorithm also known as Edmond's algorithm.这里的答案细节太复杂了。

Answer 2

编辑：由于我的误解，以前的方法不正确。

这是第二次尝试：

如果我们将一对中的每个数字视为图中的节点，我们可以构建一个二分图，如果有一对包含这两个节点，则每个节点之间有边。

所以，这个问题减少了，找到maximum bipartite matching，可以使用经典Ford-fulkerson algorithm来解决。

第一个错误的方法：

~~我们可以通过动态编程来解决这个问题。~~

按对象的起点（如果绘制，按其结束点）对对进行排序。

假设我们有一个函数f，如果我们从对f(i)开始选择，i会返回最大对数。

如果我们选择一对i，我们需要检查大于i的下一个与i不重叠的最小索引。

我们有

f(i) = max(1 + f(next index not overlap i), f (i + 1))

将f(i)的结果存储在表中，我们可以得到 O（n ^ 2）时间复杂度的解决方案，结果将为f(0)。< / p>
伪代码：

sort data;//Assume we have a data array to store all pairs int[] dp; int f(int index){ if(index == data.length) return 0; if(we have calculated this before) return dp[index]; int nxt = -1; for(int i = index + 1; i < data.length; i++){ if(data[i].start > data[index].end){ nxt = i; break; } } if(nxt == -1) return dp[index] = max(1, f(index + 1)); return dp[index] = max(1 + f(nxt) , f(index + 1)); }

Answer 3

这个问题可以用图论来重铸。图表的节点是您给出的对。如果对具有共同的数字，则连接两个节点。你的问题是找到一个最大的独立集。

最大独立集相当于找到最大集团，它既是NP完全的又是“难以近似”。但是，在这种特殊情况下，图形是一种称为“无爪”（http://en.wikipedia.org/wiki/Claw-free_graph）的特殊类型，因为如果一个节点连接到另外三个节点，那么这些节点中至少有两个必须共享一个公共数字，他们自己也是如此。

事实证明，对于无爪图的特殊情况，最大独立集问题可以在多项式时间内求解：http://en.wikipedia.org/wiki/Claw-free_graph#Independent_sets。

Answer 4

修改：这不会像用户98235在评论中指出的那样奏效。我会留在这里，但万一其他人有同样的想法。

如果我能正确理解问题，我认为这会有效。

伪代码：

resultList = new List of Pair
elementSet = new Set of int

for pair in inputPairs:

    if not elementSet.Contains(pair.First) and not elementSet.Contains(pair.Second):
        elementSet.Add(pair.First)
        elementSet.Add(pair.Second)
        resultList.Add(pair)

时间复杂度为O（N）。

有效地选择互斥对

4 个答案: