Question

我一直在学习更快的取幂算法（k-ary，滑动门等），并且想知道在CPU /编程语言中使用哪些算法？（我对这是否发生在CPU或编译器中都很模糊）

只是为了踢，这是最快的？

关于广度的编辑：它有意广泛，因为我知道有很多不同的技术可以做到这一点。已检查的答案符合我的要求。

Answer 1

我假设您对实现可以在HLL的标准数学库中找到的取幂函数感兴趣，特别是C / C ++。其中包括函数exp()，exp2()，exp10()和pow()，以及单精度对应expf()，exp2f()，{{ 1}}和exp10f()。

您提到的取幂方法（例如k-ary，滑动窗口）通常用于加密算法，例如RSA，它是基于取幂的。它们通常不用于通过powf()或math.h提供的取幂函数。标准数学函数（如cmath）的实现细节有所不同，但常见的方案遵循三个步骤：

将函数参数减少为主近似值间隔
在初级近似区间上近似合适的基函数
将主要间隔的结果映射回函数的整个范围

辅助步骤通常是处理特殊情况。这些可能涉及特殊的数学情况，如exp()，或特殊的浮点操作数，如NaN（非数字）。

以下log(0.0)的C99代码以示例性方式显示了具体示例的那些步骤。首先将expf(float)参数拆分为a = e ^r * 2 ⁱ，其中exp(a)是整数且{{ 1}}在[log（sqrt（0.5），log（sqrt（2.0）]中，是主要的近似区间。在第二步中，我们现在用多项式逼近e ^r。这样的近似可以根据各种设计标准设计，例如最小化绝对误差或相对误差。多项式可以用各种方式进行评估，包括Horner方案和Estrin方案。

下面的代码采用一种非常常见的方法，采用最小极大近似，最小化整个近似间隔的最大误差。用于计算这种近似的标准算法是Remez算法。评估是通过霍纳的计划;使用i增强了评估的数字准确性。

这个标准的数学函数实现了所谓的融合乘法加法或FMA。这会在添加期间使用完整产品r计算fmaf()，并在结尾处应用单个舍入。在大多数现代硬件上，例如GPU，IBM Power CPU，最近的x86处理器（例如Haswell），最近的ARM处理器（作为可选扩展），这直接映射到硬件指令。在缺少这种指令的平台上，a*b+c将映射到相当慢的仿真代码，在这种情况下，如果我们对性能感兴趣，我们就不会想要使用它。

最后的计算是乘以2 ⁱ，其中C和C ++提供函数a*b。在“工业强度”库代码中，通常使用机器特定的习惯用法，其利用了fmaf()的IEEE-754二进制算法。最后，代码清理溢出和下溢的情况。

x86处理器内的x87 FPU有一条指令ldexp()，可以在[-1,1]上计算2 ^x -1。这可用于计算float和F2XM1的第二步。在第三步中有一条指令exp()用于乘以2 ⁱ。实现exp2()本身的常用方法是使用有理或多项式近似的微码。请注意，x87 FPU主要用于传统支持。在现代x86平台上，库通常使用基于SSE的纯软件实现和类似于下面所示的算法。有些将小表与多项式近似结合起来。

FSCALE可以在概念上实现为F2XM1，但是当pow(x,y)接近统一且exp(y*log(x))大小时，这会严重损失准确性，以及对C / C ++标准中规定的众多特殊情况的错误处理。解决准确性问题的一种方法是以某种形式的扩展精度计算x和产品y。细节将填写一个完整，冗长的单独答案，我没有代码方便地演示它。在各种C / C ++数学库中，log(x)和y*log(x))由单独的代码路径计算，该路径应用“square-and-multiply”方法，逐位扫描整数的二进制表示指数。

pow(double,int)

CPU /编程语言使用哪种取幂算法？

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