我应该如何在Haskell中定义二叉树？

Question

在Haskell中，可以用以下两种方式之一定义二叉树：

data Tree a = Empty | Branch a (Tree a) (Tree a)

或

data Tree a = Leaf a | Branch (Tree a) (Tree a)

选择一个优于另一个有什么好处？在哪种情况下，一个树结构比另一个更好？

Answer 1

这在很大程度上取决于您的申请。如果树的形状由元素决定，前一个定义会更好，例如，如果你有一个平衡的二叉树：

另一方面，如果您的树充当不受约束的元素的容器，其中树的形状不依赖于它们，则将值放到叶子上更有意义。

Heinrich Apfelmus的

This post非常好地展示了这种方法。他定义了

data Tree v a = Leaf   v a
              | Branch v (Tree v a) (Tree v a)

因此类型a的值仅在叶子上，但所有节点（内部和叶子）都按类型v注释，只需为{{1}选择不同的monoids我们得到了不同的有趣数据结构。

Answer 2

正如@PetrPudlák所说，这取决于。前者更适合搜索树。但是，后一版本是（免费） monad ，这也很有用：

instance Monad Tree where
    return = Leaf
    Leaf x >>= f = f x
    Branch t1 t2 >>= f = Branch (t1 >>= f) (t2 >>= f)

(>>=)运算符对应于“叶子处的替换”。

Functor和Applicative个实例也很有用。 使用GHC 7.10时，在定义Monad时，它们已成为必需项。我们可以使用monad函数来定义它们：

instance Functor Tree where fmap = Control.Monad.liftM
instance Applicative Tree where pure = return; (<*>) = Control.Monad.ap

Answer 3

前者肯定更好，因为它可以代表任意二叉树，而后者则不然。例如，第二个版本不能代表：

1. 空树。

2. 一棵树，其节点具有左子节点而不是右子节点（反之亦然）。

Answer 4

我认为后者几乎没用，因为它可以被展平为（非空）列表，唯一的区别是分支结构。然而，在运行时仍难以分析，因为内部节点不承载额外的信息;当你看到一个分支时，你不能对它的两个子树中的任何一个说什么。要区别对待它们，你必须遍历它们并基本上杀死我们更喜欢树的O（ log n）复杂性。

如果有人找到这种数据结构的用例，请告诉我。