找到第i个最伟大的元素

Question

我想使用Divide-and-Conquer程序计算一行整数中的第i个最大元素，并分析算法的渐近时间复杂度。

Algorithm ith(A,low,high){
   q=partition(A,low,high);
   if (high-i+1==q) return A[q];
   else if (high-i+1<q) ith(A,low,q-1);
   else ith(A,q+1,high);
}

是不是？如果是这样，我们怎么能找到它的时间复杂度？

时间复杂度由以下递归关系描述：

T（N）= T（N-Q）+ T（Q-1）+Θ（n）的

但是如何在不知道q的值的情况下解决这种递归关系呢？

或者是否有一个时间复杂度较低的算法来计算一行整数的第i个最大元素？

Answer 1

这是quick select算法的变体（找到i-th最小元素而不是i-th最大元素）。在最坏的情况下，它的运行时间为O(n^2)，在平均情况下为O(n)。

要查看最坏的情况，假设您正在搜索nth最大元素，并且算法总是选择q作为剩余范围中的最大元素。所以你将调用ith函数n次。此外，分区子例程需要O(n)，因此总运行时间为O(n^2)。

要了解平均案例分析，请查看Tim Roughgarden教授here给出的解释。