Question

假设我有一个区间（a，b）和一些子区间{（a _i，b _i）} _i其结合是（a，b）的全部。是否有一种有效的方法来选择这些子区间的最小基数子集，这些子集仍然涵盖（a，b）？

Answer 1

从a或b开始的贪婪算法总能提供最佳解决方案。

证明：考虑覆盖a的所有子区间的集合S _a。显然，其中一个必须属于最佳解决方案。如果我们用来自S _a的子区间（_max，b _max）替换它，其右端点b _max在S _a中最大（到达最右边），剩余的未覆盖间隔（b _max，b）将是最优解的剩余间隔的子集，因此，与最佳解决方案中的类似未覆盖间隔相比，它可以不再覆盖子间隔。因此，由（a _max，b _max）构造的解决方案和剩余间隔（b _max，b）的最优解也将是最佳的。

所以，只需从a开始并迭代选择最右边的间隔（并覆盖前一个间隔的结束），重复直到你点击b。我相信如果将间隔存储在扩充间隔树中，则可以在log（n）中选择下一个间隔。

Answer 2

听起来像动态编程。

以下是算法的说明（假设区间在按结束时间排序的列表中）：

//works backwards from the end
int minCard(int current, int must_end_after)
{
    if (current < 0)
        if (must_end_after == 0)
            return 0; //no more intervals needed
        else
            return infinity; //doesn't cover (a,b)

    if (intervals[current].end < must_end_after)
        return infinity; //doesn't cover (a,b)

    return min( 1 + minCard(current - 1, intervals[current].start),
                minCard(current - 1, must_end_after) );
           //include current interval or not?
}

但它也应该涉及缓存（memoisation）。

Answer 3

有两种情况需要考虑：情况1：在间隔结束时间之后没有重叠间隔。在这种情况下，选择具有最小开始时间和最长完成时间的下一个间隔。（amin，bmax）。情况2：您正在查看的最后一个间隔有1个或多个重叠间隔。在这种情况下，开始时间无关紧要，因为您已经涵盖了这一点。因此优化完成时间。（a，bmax）。

案例1总是选择第一个区间作为最优组中的第一个区间（证明与@RafalDowgrid提供的相同）。

Answer 4

你的意思是，子区间仍然重叠，使得（a，b）在所有点上完全被覆盖？

可能将子区间本身拆分为与它们来源相关的基本块，因此您可以列出每个基本块间隔的选项，同时也考虑子区间所涵盖的其他区域。然后，您可以使用基于每个子子区间的搜索，并且至少确保没有剩余间隙然后需要有效地搜索..那将更难。

可以消除任何由另一组较小数字完全覆盖的间隔集合，并在预处理后解决问题。
至少有一半，整体的最低限度是不是很小？我不确定。

找到期刊link，但无法阅读。：（

这将是一个hitting set问题，一般都是NP_hard 无法阅读this，但看起来像是相反的问题无法阅读，但另一个link提到了分割间隔 Here是关于GeometricOptimization问题的随机算法的可用参考这个pdf的页面35有一个贪婪的算法 Karp (1972)的第11页提到了击中，并引用了很多 Google result。研究很有趣但我现在必须走了。

查找具有子间隔的间隔的最小覆盖范围

4 个答案: