傅里叶变换合成信号

Question

我在Matlab工作。我有图形功能。我应该：

1. 将其扩展为纸上的傅里叶系列，
2. 从我的系列
重建此功能
3. 从答案系列重构函数（我解决了傅里叶级数），
4. 将我的重建功能与原始功能进行比较。

step = 0.05;
t = -5:step:10;
y1 = heaviside(abs(t)-6);
y2 = heaviside(-(abs(t)-2));
funct = 4*(y1+y2)+2;
plot(t,funct,'LineWidth',2),grid;
%coefficients of my Fourier series y
a = -4; b = 8; T = abs(a-b); L = T/2;
a0 = 8; 
a(1) = 2*sqrt(3)/pi;      b(1) = -2/pi;
a(2) = 6*sqrt(3)/pi;      b(2) = 3/pi;
a(3) = 0;                       b(3) = - 8/(3*pi);
a(4) = -2*sqrt(3)/pi;     b(4) = 3/(2*pi);
a(5) = -2*sqrt(3)/(5*pi);     b(5) = -2/(5*pi);
n = -5:step:10;
sum = 0;
for k = 1:5
    sum = sum + a(k)*cos(n*pi*k/L)+b(k)*sin(n*pi*k/L);       
end
y = a0/2 + sum;    %my series
%answer Fourier series y2
n = -5:step:10;
sum = 0;
for k = 1:5
    sum = sum + (power(-1,k-1)/(2*k-1))*cos((2*k-1)*pi*n/4);
end
y2 = 4+(8/pi)*sum;  %answer series
n = 1:length(t);
hold on
plot(n*step-5,y,'r-');

当我绘制y（我的重建函数）时，我有以下图片：

但是当我绘制y2（答案功能）时，我有很好的结果：

第一个图形看起来在重建信号时只使用一个傅立叶分量。

为什么我的解决方案会获得如此糟糕的结果？

Answer 1

<强>更新

我无法摆脱我的第一种方法错误的感觉，所以我在进一步思考。你的程序和图片完全正确！

不同之处在于，在第二个循环中k=1导致周期长度为8且相位为0（即余弦从x=0开始），这与下面的矩形函数非常匹配。

但是在第一个循环中，k=1的周期长度略长（并且相位与0不同）。较长的周期长度以及添加每个余弦和正弦分量（而不仅仅是第二个循环中的奇数） 导致一个近似值，这个近似值不太明显地符合下面的矩形函数（但实际上它用这么少的系数确实尽可能好）。您需要使用大约15个而不是5个系数来获得与第二个循环类似的良好拟合。

旧有错误的调试方法：

我的第一个猜测是系数a和b的值是错误的，因为正确的函数是偶数，因此所有正弦振幅都应为零（为什么！ ）。

为了测试你的第一个估计循环是否正确，我从第二个循环中获取了系数

k = 1:5;
a = power(-1,k-1) ./ (2*k-1);
b = zeros(1,5);

并在第一个循环中使用它们而不是你的。结果仍然是错误的。 所以，要找到第二个错误，你需要比较线

sum = sum + a(k)*cos(n*pi*k/L)+b(k)*sin(n*pi*k/L);

和

sum = sum + a(k)*cos((2*k-1)*pi*n/4);

如果你想自己调试然后立即停止阅读，否则我的下一个提示是(2*k-1)保证只有第1，第3，第5 ......余弦的振幅值不等于零（其中是矩形波的必要属性。）

Answer 2

@Hartmut Pfitzinger，谢谢你的回答。我找到另一种方法来解决我的问题：我考虑了（-4,8）间隔的功能，这并不奇怪，甚至没有。但我意识到我可以考虑（-2,6）间隔的功能，它会是均匀的。所以我只是在间隔（-2,6）上将信号扩展到傅里叶级数，找到仅用于cos的系数，并在第二次循环时获得近似值。