Question

我们只考虑无向图。图表的直径是s和{{1}之间最短路径距离的所有顶点选择t和s的最大值}。（回想一下t和s之间的最短路径距离是t路径中最少的边数。）接下来，对于顶点s-t，让{{1 }}表示s和l(s)之间最短路径距离的所有顶点t的最大值。图的半径是s在顶点t的所有选项中的最小值l(s)。半径s和直径r以下哪一项始终保持？选择最佳答案。

1）r> = d / 2
2）r＆lt; = d

我们知道（1）和（2）总是持有和写在任何参考书中。我的挑战是入学考试中提到的这个问题，只有（1）或（2）中的一个应该是真的，OP说选择最好的答案，考试后答题表写的（1）是最好的选择。如何验证我，为什么（1）优于（2）。

Answer 1

他们都坚持。

2）应该清楚。

1）使用三角不等式。我们可以使用此属性，因为图表上的距离是指标（http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_%28mathematics%29）。使用令d（x，z）=直径（G）并且令y为G的中心（即，在G中存在顶点v，使得d（y，v）=半径（G））。因为d（y，v）=半径（G）和d（y，v）= d（v，y），我们知道d（v，z）<=半径（G）。然后我们得到直径（G）= d（x，z）＆lt; = d（y，v）+ d（v，z）＆lt; = 2 *半径（G）。

Answer 2

他们俩都是真的。不要让含糊不清的问题的考试削弱您的概念。

关于证明：

首先，第二个不等式非常简单（从定义本身来看）

现在第一个d <= 2 * r：

让z成为中心顶点

e（z）= r

现在让我们

直径= d（x，y）[对于某些x和y]

d（x，y）<= d（x，z）+ d（z，y）

d（x，y）<= d（z，x）+ d（z，y）

d（x，y）<= e（z）+ e（z）[对于所有u，这都可以作为e（z）> = d（z，u）的上限]

直径<= 2 * r

Answer 3

OP将s和t之间的最短路径距离定义为“s-t路径中最少的边数”。这使事情变得更简单。

我们可以根据某些伪代码来编写定义：

def dist(s, t):
    return min([len(path)-1 for path starts with s and ends with t])

r = min([max([dist(s, t) for t in V]) for s in V])
d = max([max([dist(s, t) for t in V]) for s in V])

其中V是所有顶点的集合。

现在（2）显然是正确的。定义本身告诉我们：max always >= min。

（1）略显不明显。它至少需要几个步骤来证明。

假设d = dist(A, B)和r = dist(C, D)，我们有

dist(C, A) + dist(C, B) >= dist(A, B),

否则路径A-C-B的长度将小于dist(A, B)。

根据r的定义，我们知道

dist(C, D) >= dist(C, A)
dist(C, D) >= dist(C, B)

因此2 * dist(C, D) >= dist(A, B)，即2 * r >= d。

哪一个更好？这取决于你如何定义“更好”。如果我们认为某些非正式（或不那么明显）的东西要比一些正确的东西更好，那么我们可能同意（1）胜过（2）。

无向图中直径与半径的关系？

3 个答案: