从私有指数（d），公共指数（e）和模数（n）计算素数p和q

Question

如何从e（公钥），d（私钥）和模数计算p和q参数？

我手头有BigInteger键我可以将粘贴复制到代码中。一个公钥，一个私钥和一个模数。

我需要从中计算出RSA参数p和q。但我怀疑有一个我无法用谷歌找到的库。有任何想法吗？感谢。

这不一定是暴力，因为我不是在私钥之后。我只有一个遗留系统，它存储公钥，私钥对和模数，我需要将它们放入c＃以与RSACryptoServiceProvider一起使用。

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所以归结为

计算（p + q）

public BigInteger _pPlusq()
    {
        int k = (this.getExponent() * this.getD() / this.getModulus()).IntValue();

        BigInteger phiN = (this.getExponent() * this.getD() - 1) / k;

        return phiN - this.getModulus() - 1;

    }

但这似乎不起作用。你能发现问题吗？

---

5小时后......：）

确定。如何在C＃中选择Zn *（http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group_of_integers_modulo_n）中的随机数？

Answer 1

我们假设 e 很小（这是常见的情况;传统的公共指数是65537）。我们还假设 ed = 1 mod phi（n），其中 phi（n）=（p-1）（q-1） （不一定是这种情况; RSA要求是 ed = 1 mod lcm（p-1，q-1）和 phi（n）< / em>只是 lcm（p-1，q-1）的倍数。

现在你有一些整数 k 的 ed = k * phi（n）+1 。由于 d 小于 phi（n），您知道 k＆lt; ë。所以你只需要少量的 k 来试试。实际上， phi（n）接近于 n （差异在于 sqrt（n）的顺序;换句话说，写的时候以位为单位， phi（n）的上半部分与 n 的上半部分相同，因此您可以使用： k' > K'=圆形（ED / n）的。只要的大小， k'非常接近 k （即 | k'-k |＆lt; = 1 ） e 的大小不超过 n 的一半。

鉴于 k ，您很容易得到 phi（n）=（ed-1）/ k 。碰巧：

phi（n）=（p-1）（q-1）= pq - （p + q）+ 1 = n + 1 - （p + q）

因此，你得到 p + q = n + 1 - phi（n）。你也有 pq 。是时候记住，对于所有实数 a 和 b ， a 和 b 是两个解决方案二次方程 X ² - （a + b）X + ab 。因此，给定 p + q 和 pq ，通过求解二次方程得到 p 和 q ：

p =（（p + q）+ sqrt（（p + q） ² - 4 * pq））/ 2

q =（（p + q） - sqrt（（p + q） ² - 4 * pq））/ 2

在一般情况下， e 和 d 可能具有任意大小（可能大于 n ），因为RSA需要的是 ed = 1 mod （p-1）和 ed = 1 mod （q-1）。有一种通用（和快速）的方法看起来有点像Miller-Rabin素性测试。它在Handbook of Applied Cryptography（第8章，第8.2.2节，第287页）中进行了描述。该方法在概念上有点复杂（它涉及模幂运算）但可能更容易实现（因为没有平方根）。

Answer 2

有一个从 n ， e 和 d <恢复 p 和 q 的程序/ em>在附录C中的NIST Special Publication 800-56B R1 Recommendation for Pair-Wise Key Establishment Schemes Using Integer Factorization Cryptography中描述。

所涉及的步骤是：

1. 让 k = de - 1 。如果 k 为奇数，则转到步骤4.
2. 将 k 写为 k = 2 ^t r ，其中r是除 k 之外的最大奇数，并且t≥1。或者更简单地说，将 k 重复除以2直到达到奇数。
3. 对于 i = 1 到 100 ，请执行以下操作：
   1. 在[0，n-1]范围内生成随机整数 g 。
   2. 让 y = g ^r mod n
   3. 如果 y = 1 或 y = n - 1 ，则转到步骤3.1（即重复此循环）。
   4. 对于 j = 1 到 t - 1 ，请执行以下操作：
      1. 设 x = y ² mod n
      2. 如果 x = 1 ，请转到（外部）第5步。
      3. 如果 x = n - 1 ，请转到步骤3.1。
      4. 让 y = x 。
   5. 设 x = y ² mod n
   6. 如果 x = 1 ，请转到（外部）第5步。
   7. 继续
4. 输出“未找到主要因素”并停止。
5. 让 p = GCD（y - 1，n）并让 q = n / p
6. 输出（p，q）作为主要因素。

我最近用Java编写了一个实现。对我认识的C＃没有直接用处，但也许可以轻松移植：

// Step 1: Let k = de – 1. If k is odd, then go to Step 4
BigInteger k = d.multiply(e).subtract(ONE);
if (isEven(k)) {

    // Step 2 (express k as (2^t)r, where r is the largest odd integer
    // dividing k and t >= 1)
    BigInteger r = k;
    BigInteger t = ZERO;

    do {
        r = r.divide(TWO);
        t = t.add(ONE);
    } while (isEven(r));

    // Step 3
    Random random = new Random();
    boolean success = false;
    BigInteger y = null;

    step3loop: for (int i = 1; i <= 100; i++) {

        // 3a
        BigInteger g = getRandomBi(n, random);

        // 3b
        y = g.modPow(r, n);

        // 3c
        if (y.equals(ONE) || y.equals(n.subtract(ONE))) {
            // 3g
            continue step3loop;
        }

        // 3d
        for (BigInteger j = ONE; j.compareTo(t) <= 0; j = j.add(ONE)) {
            // 3d1
            BigInteger x = y.modPow(TWO, n);

            // 3d2
            if (x.equals(ONE)) {
                success = true;
                break step3loop;
            }

            // 3d3
            if (x.equals(n.subtract(ONE))) {
                // 3g
                continue step3loop;
            }

            // 3d4
            y = x;
        }

        // 3e
        BigInteger x = y.modPow(TWO, n);
        if (x.equals(ONE)) {

            success = true;
            break step3loop;

        }

        // 3g
        // (loop again)
    }

    if (success) {
        // Step 5
        p = y.subtract(ONE).gcd(n);
        q = n.divide(p);
        return;
    }
}

// Step 4
throw new RuntimeException("Prime factors not found");

此代码使用一些辅助定义/方法：

private static final BigInteger ONE = BigInteger.ONE;
private static final BigInteger TWO = BigInteger.valueOf(2);
private static final BigInteger ZERO = BigInteger.ZERO;

private static boolean isEven(BigInteger bi) {
    return bi.mod(TWO).equals(ZERO);
}

private static BigInteger getRandomBi(BigInteger n, Random rnd) {
    // From http://stackoverflow.com/a/2290089
    BigInteger r;
    do {
        r = new BigInteger(n.bitLength(), rnd);
    } while (r.compareTo(n) >= 0);
    return r;
}

Answer 3

如果有兴趣的话，我已经在C＃中调整了Java code provided by Duncan：

    public static void RecoverPQ(
        BigInteger n,
        BigInteger e,
        BigInteger d,
        out BigInteger p,
        out BigInteger q
        )
    {
        int nBitCount = (int)(BigInteger.Log(n, 2)+1);

        // Step 1: Let k = de – 1. If k is odd, then go to Step 4
        BigInteger k = d * e - 1;
        if (k.IsEven)
        {
            // Step 2 (express k as (2^t)r, where r is the largest odd integer
            // dividing k and t >= 1)
            BigInteger r = k;
            BigInteger t = 0;

            do
            {
                r = r / 2;
                t = t + 1;
            } while (r.IsEven);

            // Step 3
            var rng = new RNGCryptoServiceProvider();
            bool success = false;
            BigInteger y = 0;

            for (int i = 1; i <= 100; i++) {

                // 3a
                BigInteger g;
                do
                {
                    byte[] randomBytes = new byte[nBitCount / 8 + 1]; // +1 to force a positive number
                    rng.GetBytes(randomBytes);
                    randomBytes[randomBytes.Length - 1] = 0;
                    g = new BigInteger(randomBytes);
                } while (g >= n);

                // 3b
                y = BigInteger.ModPow(g, r, n);

                // 3c
                if (y == 1 || y == n-1) {
                    // 3g
                    continue;
                }

                // 3d
                BigInteger x;
                for (BigInteger j = 1; j < t; j = j + 1) {
                    // 3d1
                    x = BigInteger.ModPow(y, 2, n);

                    // 3d2
                    if (x == 1) {
                        success = true;
                        break;
                    }

                    // 3d3
                    if (x == n-1) {
                        // 3g
                        continue;
                    }

                    // 3d4
                    y = x;
                }

                // 3e
                x = BigInteger.ModPow(y, 2, n);
                if (x == 1) {

                    success = true;
                    break;

                }

                // 3g
                // (loop again)
            }

            if (success) {
                // Step 5
                p = BigInteger.GreatestCommonDivisor((y - 1), n);
                q = n / p;
                return;
            }
        }
        throw new Exception("Cannot compute P and Q");
    }

这使用标准的System.Numerics.BigInteger类。

通过以下单元测试进行测试：

BigInteger n = BigInteger.Parse("9086945041514605868879747720094842530294507677354717409873592895614408619688608144774037743497197616416703125668941380866493349088794356554895149433555027");
BigInteger e = 65537;
BigInteger d = BigInteger.Parse("8936505818327042395303988587447591295947962354408444794561435666999402846577625762582824202269399672579058991442587406384754958587400493169361356902030209");
BigInteger p;
BigInteger q;
RecoverPQ(n, e, d, out p, out q);
Assert.AreEqual(n, p * q);

Answer 4

我实施了Thomas Pornin描述的method。

BigInteger课程是Chew Keong TAN的C＃版本（查看错误修复的codeproject评论）

    /// EXAMPLE (Hex Strings)
    /// N(MODULUS) = "DB2CB41E112BACFA2BD7C3D3D7967E84FB9434FC261F9D090A8983947DAF8488D3DF8FBDCC1F92493585E134A1B42DE519F463244D7ED384E26D516CC7A4FF7895B1992140043AACADFC12E856B202346AF8226B1A882137DC3C5A57F0D2815C1FCD4BB46FA9157FDFFD79EC3A10A824CCC1EB3CE0B6B4396AE236590016BA69"
    /// D(PRIVATE EXPONENT) = "18B44A3D155C61EBF4E3261C8BB157E36F63FE30E9AF28892B59E2ADEB18CC8C8BAD284B9165819CA4DEC94AA06B69BCE81706D1C1B668EB128695E5F7FEDE18A908A3011A646A481D3EA71D8A387D474609BD57A882B182E047DE80E04B4221416BD39DFA1FAC0300641962ADB109E28CAF50061B68C9CABD9B00313C0F46ED"
    /// E(PUBLIC EXPONENT) = "010001"
    /// RESULTS: 
    /// DP = "899324E9A8B70CA05612D8BAE70844BBF239D43E2E9CCADFA11EBD43D0603FE70A63963FE3FFA38550B5FEB3DA870D2677927B91542D148FA4BEA6DCD6B2FF57"
    /// DQ = "E43C98265BF97066FC078FD464BFAC089628765A0CE18904F8C15318A6850174F1A4596D3E8663440115D0EEB9157481E40DCA5EE569B1F7F4EE30AC0439C637"
    /// INVERSEQ = "395B8CF3240C325B0F5F86A05ABCF0006695FAB9235589A56759ECBF2CD3D3DFDE0D6F16F0BE5C70CEF22348D2D09FA093C01D909D25BC1DB11DF8A4F0CE552"
    /// P = "ED6CF6699EAC99667E0AFAEF8416F902C00B42D6FFA2C3C18C7BE4CF36013A91F6CF23047529047660DE14A77D13B74FF31DF900541ED37A8EF89340C623759B"
    /// Q = "EC52382046AA660794CC1A907F8031FDE1A554CDE17E8AA216AEDC92DB2E58B0529C76BD0498E00BAA792058B2766C40FD7A9CC2F6782942D91471905561324B"

    public static RSACryptoServiceProvider CreateRSAPrivateKey(string mod, string privExponent, string pubExponent)
    {
        var rsa = new RSACryptoServiceProvider
        {
            PersistKeyInCsp = false
        };
        var n = new BigInteger(mod, 16);
        var d = new BigInteger(privExponent, 16);
        var e = new BigInteger(pubExponent, 16);

        var zero = new BigInteger(0);
        var one = new BigInteger(1);
        var two = new BigInteger(2);
        var four = new BigInteger(4);


        BigInteger de = e*d;
        BigInteger modulusplus1 = n + one;
        BigInteger deminus1 = de - one;
        BigInteger p = zero;
        BigInteger q = zero;

        BigInteger kprima = de/n;

        var ks = new[] {kprima, kprima - one, kprima + one};

        bool bfound = false;
        foreach (BigInteger k in ks)
        {
            BigInteger fi = deminus1/k;
            BigInteger pplusq = modulusplus1 - fi;
            BigInteger delta = pplusq*pplusq - n*four;

            BigInteger sqrt = delta.sqrt();
            p = (pplusq + sqrt)/two;
            if (n%p != zero) continue;
            q = (pplusq - sqrt)/two;
            bfound = true;
            break;
        }

        if (bfound)
        {
            BigInteger dp = d%(p - one);
            BigInteger dq = d%(q - one);

            BigInteger inverseq = q.modInverse(p);

            var pars = new RSAParameters
            {
                D = d.getBytes(),
                DP = dp.getBytes(),
                DQ = dq.getBytes(),
                Exponent = e.getBytes(),
                Modulus = n.getBytes(),
                P = p.getBytes(),
                Q = q.getBytes(),
                InverseQ = inverseq.getBytes()
            };
            rsa.ImportParameters(pars);
            return rsa;
        }

        throw new CryptographicException("Error generating the private key");
    }