反向复杂的2D查找表

Question

我有一些函数，它将一些输入映射到输出。输出是一个复数。我真正感兴趣的是反函数。但由于这种反演不能以分析方式完成，我需要用数值近似来完成。

由于的计算成本很高，我的想法是使用查找表方法。我可以使用维度生成一个2D查找表（正向查找表），但我实际需要的是此查找表的反转 - 根据给定的产生。

对于查找表的反转，我能想到的最简单的方法是使用正向查找表的条目作为顶点，并在规则网格中插入它们，产生反向查找表。如果反向查找表对于所需的精度要大，我将生成粗表并使用这些值作为优化算法的起始值。有没有比我更容易的方法？

，为常量且，为。

Answer 1

1. f(x,y)您可以使用f(x,y)->(a,b) 2D LUT（查找表）

   但是存储的网格点必须选择得如此密集，以便每个网格矩形最多有一个凹凸，否则插值将无法正常工作。

   如果要使用线性插值，则局部最小值/最大值必须是LUT内的点，对于更高阶的多项式插值，并不总是需要。我会使用4 point cubic interpolation

2. 如何计算g(a,b)->(x,y)

   • 首先是反向映射吗？
   • 那么有多少(x,y)个点返回相同的(a,b)=f(x,y)？
   • 与问题相同：f是否起作用？

   如果f不起作用，那么你遇到了问题，你无法解决这个问题，除非以某种方式将范围细分为f功能的子范围，然后你必须选择合适的范围根据一些规则，取决于你想做什么。因此，假设f是函数

   那么如何计算(x,y)=g(a,b)？

   的f(x,y)=(a,b)

   1. 我会从结果的近似开始。因此，请在整个范围内尝试足够的(x,y)值，并将最近的点存储到所需的输出，以使|f(x,y)-(a,b)|最小化。

   2. 然后重新开始，但不是全范围，而是围绕这一点而不是

      • 递归地将准确度提高到你需要的程度。
      • 看这里Increasing accuracy of solution of transcendental equation我在计算类似的问题有1D LUT的2D点(a(t),y(t))并且需要逆3D点(a0,y0,z0)你可以在那里使用我的近似类

近似的嵌套如下所示：

int n=5;  // recursions
double e; // Error Of Solution Variable
approx ax,ay;
//            min    max   step   
for (ax.init(-100.0,+100.0,10.0,n,&e);!ax.done;ax.step())
for (ay.init(-100.0,+100.0,10.0,n,&e);!ay.done;ay.step())
    {
    e=|f(ax.a,ay.a)-(a,b)|;
    }
// here (ax.a,ay.a) should hold your solution for input point `(a,b)`

• 初始步骤应该尽可能小，以免没有错过
• 如果您的g(a,b)形状太复杂，那么这可能无法正常工作

从这里你可以计算逆LUT表......

• 每次递归都会将步骤除以10，因此明智地选择n。

对于2D和奇点，这个表现并不差O((log(N))^2)。我在3D O((log(N))^3)上执行此操作，每100次计算e点，这很慢（大约35秒）

• 其中N=(10^n)*(max-min)/step和n是递归次数
• 准确度为step/(10^n)
• 不要忘记将min，max更改为您使用的范围......