Question

我的算法返回pi的近似值。它的工作原理是

a_2n= math.sqrt(-2*(math.sqrt((n**2)-4*(a_n**2))-n)*n)/2

其中a_n是当n是某个数时的近似值，而a_2n是当n是该数的两倍时的近似值。它从n = 4开始，a_n是2，并应用公式直到n足够高。 n越高，计算越精确，当n> = 2 ^ 22

时，它才会突然停止收敛到pi。

这是完整的代码：

import math
def pi(n):
    value = 2
    round = 4
    loop = 2
    while round != n:
        value= a2n(value,round)
        round = round*2
        loop +=1
        print("n=2^", loop, " pi = ", value)
    return value


def a2n(an,n):
    return  math.sqrt(-2*(math.sqrt((n**2)-4*(an**2))-n)*n)/2


print(pi(2**25))

我很自信数学很好，所以我认为python遇到了更大的数字问题。它从'3.141596553704'变为'3.14167426502175'并从那里变得更糟。

Answer 1

您正在使用的迭代公式有点恶劣：随着迭代的进行，数量n变得比an大得多。所以在表达式中

math.sqrt(n**2-4*an**2)-n

平方根的结果将接近n，因此外部减法是两个几乎相等的量的减法（在相对意义上）。现在，如果您使用常规的Python浮点数进行计算，这些浮点数具有16位精度的十进制数字，那么减法将在迭代过程中为您提供精确到少数位数的结果。有关此问题的更一般性讨论，请参阅loss of significance上的维基百科页面。

短篇小说：要使用最初编写的公式获取d pi个数字，您需要在中间计算中使用多于d个数字。通过一些工作，您可以证明您需要在内部使用略高于2d精度的数字，以获得pi的d个准确数字。即使这样，你也必须要小心，只需要使用尽可能多的迭代：无论你使用多少中间精度，迭代次数太多，精度也会再次失去。

但是这里有一个更好的选择，而不是加倍中间精度，那就是重写你的公式，以便它首先避免重要性的损失。如果您将sqrt(n**2-4*an**2)-n乘以共轭表达式sqrt(n**2-4*an**2)+n，则得到-4*an**2。因此，原始差异可以重写为-4*an**2/(sqrt(n**2-4*an**2)+n)。将其插入原始公式并简化一点会导致迭代步骤如下所示：

def a2n(an, n):
    return an*math.sqrt(2*n/(math.sqrt(n*n-4*an*an)+n))

从数学的角度来说，与<{1}}函数的计算完全相同，但从数值的角度来看，它的表现要好得多。

如果使用此迭代步骤代替原始步骤，您将看到更小的舍入误差，并且您应该能够使用Python浮点数获得高达15位的精度。实际上，使用这个新迭代运行代码，我在30次迭代后得到a2n的值，这只是通过单个ulp（最后一个单位）的pi的最佳双精度近似值。 / p>

要获得更多数字，我们需要使用decimal模块。这是一段代码，基于您的代码，但使用我建议的修改计算进行迭代，使用十进制模块获取精确到51位有效数字的pi值。它使用55位有效数字的内部精度，以便累积舍入误差。

3.1415926535897927

这是结果：

from decimal import getcontext

context = getcontext()
context.prec = 55    # Use 55 significant digits for all operations.
sqrt = context.sqrt  # Will work for both ints and Decimal objects,
                     # returning a Decimal result.

def step(an, n):
    return an*sqrt(2*n/(sqrt(n*n-4*an*an)+n)), n*2

def compute_pi(iterations):
    value, round = 2, 4
    for k in range(iterations):
        value, round = step(value, round)
    return value

pi_approx = compute_pi(100)
print("pi = {:.50f}".format(pi_approx))

使用原始公式，中间计算需要超过100的精度。

Answer 2

可能不是python本身有这个问题，但在2 ^ 22你遇到python在内部使用的类型的数值问题。

对于python使用的64位浮点数，你得到52位的尾数;这会将您的准确度限制在逗号后面的大约16位（十进制）数位。

编辑：我真的不知道如何回到Matlab有帮助 - 默认情况下，Matlab内部通常也使用相同的64位浮点类型。

Python错误计算大浮点数

2 个答案: