Question

我需要迭代一组整数的排列。必须通过在每一步交换一对元素来生成订单。

我找到了Heap算法的维基百科文章（http://en.wikipedia.org/wiki/Heap%27s_algorithm），这应该是这样做的。伪代码是：

procedure generate(n : integer, A : array of any):
    if n = 1 then
        output(A)
    else
        for i := 1; i ≤ n; i += 1 do
            generate(n - 1, A)
            if n is odd then
                j ← 1
            else
                j ← i
            swap(A[j], A[n])

我试图在python中为此编写一个生成器：

def heap_perm(A):
    n = len(A)
    Alist = [el for el in A]
    for hp in _heap_perm_(n, Alist):
        yield hp


def _heap_perm_(n, A):
    if n == 1:
        yield A
    else:
        for i in range(1,n+1):
            for hp in _heap_perm_(n-1, A):
                yield hp
            if (n % 2) == 1:
                j = 1
            else:
                j = i
            swap = A[j-1]
            A[j-1] = A[n-1]
            A[n-1] = swap

这会按以下顺序产生排列（输入[0,1,2,3]）：

0,1,2,3
1,0,2,3
2,0,1,3
0,2,1,3
1,2,0,3
2,1,0,3
3,1,2,0

and so on

直到最后一步，这似乎没有问题，这不是一对交换。

我做错了什么？

Answer 1

历史序幕

Wikipedia article on Heap's algorithm已经更正，因为这个答案已经写好了，但您可以在Wikipedia's change history中看到问答所引用的版本。

如果您打算实施Wikipedia伪代码，那么您的代码（算法上）没有任何问题。您已成功实现了所提出的算法。

然而，所提出的算法不是Heap的算法，并且它不保证连续的排列将是单个交换的结果。正如您在维基百科页面中看到的，有时在生成的排列之间发生多次交换。参见例如行

CBAD
DBCA

它们之间有三次交换（其中一个交换是无操作）。

这正是代码的输出，这并不奇怪，因为您的代码是所提算法的准确实现。

Heap算法的正确实现，以及错误的来源

有趣的是，伪代码基本上来自Sedgewick的谈话幻灯片（维基百科页面上的参考文献3），这与前一张幻灯片上的排列列表不对应。我做了一些调查，发现了这个不正确的伪代码的许多副本，足以开始怀疑我的分析。

幸运的是，我还查看了Heap的简短论文（维基百科页面上的参考文献1），这是相当清楚的。他说的是:(强调补充）

程序使用相同的通用方法...即对于n个对象，首先置换第一个（n-1）个对象，然后将第n个单元格的内容与指定单元格的内容进行交换。在此方法中，如果n为奇数，则此指定单元格始终是第一个单元格，但如果n为偶数，则从1到（n-1）连续编号。

问题是所呈现的递归函数在返回之前总是进行交换（除非N为1）。因此它实际上会按照Heap指定从1连续切换到 n ，而不是（n-1）。因此，当（例如）用N == 3调用函数时，在下一个yield之前调用结束时将有两个交换：一个来自N == 2调用的结尾，另一个来自i == N的循环。如果N == 4，则会有三次交换，依此类推。（但其中一些将是无操作。）

最后一次交换不正确：算法应该在递归调用之间进行交换，而不是在它们之后;它永远不应与i==N交换。

所以这应该有效：

def _heap_perm_(n, A): if n == 1: yield A else: for i in range(n-1): for hp in _heap_perm_(n-1, A): yield hp j = 0 if (n % 2) == 1 else i A[j],A[n-1] = A[n-1],A[j] for hp in _heap_perm_(n-1, A): yield hp
塞奇威克的原始论文
我找到了Sedgewick 1977年的一篇论文，（维基百科给出的链接很糟糕，很遗憾），并且很高兴地发现他在那里提出的算法是正确的。但是，它使用循环控制结构（归功于Donald Knuth），这对Python或C程序员来说可能看起来很陌生：中环测试：

Algorithm 1: procedure permutations (N); begin c:=1; loop: if N>2 then permutations(N-1) endif; while c<N: # Sedgewick uses :=: as the swap operator # Also see note below if N odd then P[N]:=:P[1] else P[N]:=:P[c] endif; c:=c+l repeat end;

注意：交换行取自第141页，其中Sedgewick解释了如何修改算法1的原始版本（第140页）以匹配Heap的算法。除了该行，算法的其余部分保持不变。提出了几种变体。

Answer 2

获取列表排列的最简单方法是在itertools模块中使用排列函数。所以，如果算法没有绑定，我会这样做：

from itertools import permutations

a = [1,2,3,4]
for item in permutations(a):
    print item

Answer 3

只想分享此链接以获取正确的伪代码： http://desple.com/post/118425815657/permutations-with-heaps-algorithm-in-javascript

它与维基百科页面中的伪代码不同：

generate (n, arr)
    if n = 1
        output arr
    else
        for i = 0; i < n; i += 1
            generate (n - 1, arr)

            if n is even
                swap(arr[i], arr[n - 1])
            else
                swap(arr[0], arr[n - 1])

维基百科页面在交换后有一个额外的生成（n-1，arr）语句，这会导致多余的结果。

堆的算法置换生成器

3 个答案:

历史序幕

Heap算法的正确实现，以及错误的来源