Question

我需要在计算着色器中具有双精度的acos()函数。由于GLSL中没有acos()的内置函数具有双精度，我试图实现自己的函数。

首先，我实施了一个泰勒系列，如Wiki - Taylor series中的等式，具有预先计算的教师价值。但这似乎在1左右不准确。最大误差约为0.08，有40次迭代。

我还实现了this method，它在CPU上工作得很好，最大错误为-2.22045e-16，但我在着色器中实现这个有一些麻烦。

目前，我正在使用here的acos()近似函数，其中有人在this网站上发布了他的近似函数。我正在使用本网站最准确的功能，现在我的最大误差为-7.60454e-08，但错误也太高。

我的这个功能的代码是：

double myACOS(double x)
{
    double part[4];
    part[0] = 32768.0/2835.0*sqrt(2.0-sqrt(2.0+sqrt(2.0+sqrt(2.0+2.0*x))));
    part[1] = 256.0/135.0*sqrt(2.0-sqrt(2.0+sqrt(2.0+2.0*x)));
    part[2] = 8.0/135.0*sqrt(2.0-sqrt(2.0+2.0*x));
    part[3] = 1.0/2835.0*sqrt(2.0-2.0*x);
    return (part[0]-part[1]+part[2]-part[3]);
}

有人知道acos()的另一种实现方法是非常准确的 - 如果可能的话 - 很容易在着色器中实现？

一些系统信息：

Nvidia GT 555M
使用optirun运行OpenGL 4.3

Answer 1

我目前对'acos（）'的准确着色器实现是通常的Taylor系列和Bence的答案。通过40次迭代，我得到了math.h中'acos（）'实现的精度4.44089e-16。也许它不是最好的，但它对我有用：

这就是：

double myASIN2(double x)
{
    double sum, tempExp;
    tempExp = x;
    double factor = 1.0;
    double divisor = 1.0;
    sum = x;
    for(int i = 0; i < 40; i++)
    {
        tempExp *= x*x;
        divisor += 2.0;
        factor *= (2.0*double(i) + 1.0)/((double(i)+1.0)*2.0);
        sum += factor*tempExp/divisor;
    }
    return sum;
}

double myASIN(double x)
{
    if(abs(x) <= 0.71)
        return myASIN2(x);
    else if( x > 0)
        return (PI/2.0-myASIN2(sqrt(1.0-(x*x))));
    else //x < 0 or x is NaN
        return (myASIN2(sqrt(1.0-(x*x)))-PI/2.0);

}

double myACOS(double x)
{
    return (PI/2.0 - myASIN(x));
}

任何评论，可以做得更好吗？例如，使用LUT作为因子的值，但在我的着色器'acos（）'中只调用一次，因此不需要它。

Answer 2

NVIDIA GT 555M GPU是一款具有2.1计算能力的设备，因此基本的双精度操作支持本机硬件，包括fused multipy-add（FMA）。与所有NVIDIA GPU一样，仿真平方根操作。我熟悉CUDA，但不熟悉GLSL。根据{{3}}的4.3版，它将双精度FMA公开为函数fma()，并提供双精度平方根sqrt()。目前尚不清楚sqrt()实施是否根据GLSL specification规则正确舍入。我将假设它与CUDA类似。

不使用泰勒级数，而是希望使用多项式IEEE-754，从而减少所需的项数。 Minimax近似通常使用minimax approximation的变体生成。为了优化速度和准确性，FMA的使用至关重要。使用Remez algorithm对多项式的求值是高度累积的。在下面的代码中，使用二阶Horner方案。与在DanceIgel Horner scheme中一样，acos可以使用asin近似值作为基本构建块以及标准数学身份来方便地计算。

使用400M测试向量时，下面的代码看到的最大相对误差为2.67e-16，而观察到的最大answer误差为1.442 ulp。

/* compute arcsin (a) for a in [-9/16, 9/16] */
double asin_core (double a)
{
    double q, r, s, t;

    s = a * a;
    q = s * s;
    r =             5.5579749017470502e-2;
    t =            -6.2027913464120114e-2;
    r = fma (r, q,  5.4224464349245036e-2);
    t = fma (t, q, -1.1326992890324464e-2);
    r = fma (r, q,  1.5268872539397656e-2);
    t = fma (t, q,  1.0493798473372081e-2);
    r = fma (r, q,  1.4106045900607047e-2);
    t = fma (t, q,  1.7339776384962050e-2);
    r = fma (r, q,  2.2372961589651054e-2);
    t = fma (t, q,  3.0381912707941005e-2);
    r = fma (r, q,  4.4642857881094775e-2);
    t = fma (t, q,  7.4999999991367292e-2);
    r = fma (r, s, t);
    r = fma (r, s,  1.6666666666670193e-1);
    t = a * s;
    r = fma (r, t, a);

    return r;
}

/* Compute arccosine (a), maximum error observed: 1.4316 ulp
   Double-precision factorization of π courtesy of Tor Myklebust
*/
double my_acos (double a)
{
    double r;

    r = (a > 0.0) ? -a : a; // avoid modifying the "sign" of NaNs
    if (r > -0.5625) {
        /* arccos(x) = pi/2 - arcsin(x) */
        r = fma (9.3282184640716537e-1, 1.6839188885261840e+0, asin_core (r));
    } else {
        /* arccos(x) = 2 * arcsin (sqrt ((1-x) / 2)) */
        r = 2.0 * asin_core (sqrt (fma (0.5, r, 0.5)));
    }
    if (!(a > 0.0) && (a >= -1.0)) { // avoid modifying the "sign" of NaNs
        /* arccos (-x) = pi - arccos(x) */
        r = fma (1.8656436928143307e+0, 1.6839188885261840e+0, -r);
    }
    return r;
}

是否有精确的acos（）函数近似值？

2 个答案: