Question

我有一个编写Haskell程序的任务，该程序能够将De Bruijn术语转换为Lambda术语，并将Lambda术语转换为De Bruijn术语，并检查术语是否“关闭”。

我不是在寻找某人为我做这项任务，但我们将非常感谢您的帮助！我对如何开始这个问题基本上一无所知。

所以，我最大的问题是：De Bruijn术语和Lambda术语之间有什么区别？我理解变量被“关闭”意味着什么，但我怎么能在Haskell中检查它呢？

非常感谢您能想到的任何其他帮助。

以下是完整的作业：

（通常）lambda术语定义为数据类型：
data Term = Var Int | Lam Int Term | App Term Term deriving (Eq, Show, Read)
其中变量表示为整数。一个术语叫做封闭   如果i中的每个Var i都有一个来自Lam i <subterm>的术语   从它到根的路径，为它提供一个绑定。

De Bruijn术语被定义为数据类型：
data BTerm =BVar Int | BLam BTerm | BApp BTerm BTerm deriving (Eq,  Show, Read)
编写一个Haskell函数db2lam，将de Bruijn项转换为   一个lambda术语。编写一个转换a的Haskell函数lam2db   lambda术语成为Bruijn术语。

编写一个函数isClosed，用于测试lambda术语是否已关闭。写   函数isClosed，用于测试de Bruijn项是否已关闭。

选择以下两个科目之一：

a）为de Bruijn条款实施正常的订单beta减少   b）对（通常的）lambda术语实施正常的订单beta减少

非常感谢您的帮助（大或小）！我正处于学习Haskell的早期阶段，很抱歉这么不确定！这个任务在这个时候已经超出了我的想法。

Answer 1

基本上你的任务是要求你探索＆＃34;命名＆＃34;之间的区别。和＃34;无名＆＃34; lambda calculi实现。通常，当我们作为人类编写lambda术语时，我们使用命名变量（如

）来编写它们

(\g -> (\f -> f (\x -> g x))) (\m -> m)

在假设名称是＆＃34;绑定＆＃34;的情况下工作。通过lambda然后我们可以独特地追踪在lambda体中使用该名称的所有地方。特别是像＆＃34;阴影＆＃34;等概念。变得重要。

作为一个小的切线，我们必须注意，当我们写下命名的lambda术语时，它们是非唯一的。如果我们真的很迂腐，那么我们注意到(\x -> x)和(\y -> y)是不同的术语。我们知道它们最终代表相同的过程＆＃34;但是因此引入了 alpha-equivalence 的概念来处理两个相似的命名lambda术语实际上可能在功能上相同的事实。这是一个名为lambda术语的语句，其特点是重命名＆＃34;在哪里＆＃34;重命名＆＃34;按照你认为应该的方式工作。

命名为lambda术语的一个更重要的方面是＆＃34;通过替换＆＃34;捕获，这是天真实现中的一个缺陷。特别是，虽然alpha等效表明两个术语相等于重命名，但某些病态的冲突重命名可能会违反这些术语，例如

(\x -> (\q -> q x))  ====>  (\x -> (\x -> x x))

虽然重命名q -> x可能是允许的，因为我改变了q - lambda术语＆＃34;捕获＆＃34;变量导致我的程序改变的意义。这显然是病态的，但在实施替代时也很容易意外制定。

捕获 - 避免替换通常是一个重要的事情。随着LC ADT的片段移动并在其新的替代上下文中进行解释，其含义会发生变化，并且必须考虑到这种变化。也就是说，使用命名术语进行捕获避免替换可能很昂贵，因为必须知道整个术语的上下文才能识别哪些名称有被捕获的风险。

因此，出于这两个原因，尽管人性化的熟悉程度，但是对等同性的需求以及捕获命名风险的需求并不总是最佳选择。

所以现在我们转向无名的术语。 de Bruijn将您的作业要求您实施的是无名的。特别是，如果你看一下ADT，很清楚BLam s不再指定哪个变量受它们约束---我们反而强迫它确定变量的含义。仅ADT的结构。

特别是，规则是变量是绑定它们的lambda的指针。 BVar n绑定到lambda，它位于n BLam之上。因此，如果我们要将翻译从命名转换为无名的术语，那么它们看起来像

(\x -> x)            ===>  (\ 0)
(\x -> (\q -> q x))  ===>  (\ (\ 0 1))

(\g -> (\f -> f (\x -> g x))) (\m -> m)
===>
(\ (\ 0 (\ 2 0))) (\ 0)

无名的术语很难像人类一样阅读，但它们有两个很好的特质：

不再存在alpha-equivalence这样的东西;两个无名的术语在结构上相等时完全代表相同的计算
因为变量非常系统地被命名为＃34;完全由于实现捕获避免这一术语的结构有点简单。

Answer 2

带有De Bruijn index的变量指的是距离它很远的lambda。最简单的例子是BLam (BVar 0)，它是身份函数。（我喜欢在0 跳过 lambdas开始计数，其他作者从1 st lambda开始计数。）变量BVar 0由lambda绑定中间没有lambda。

通常的lambda术语中的变量是指具有相同名称的最接近的lambda。最简单的例子是身份函数Lam 1 (Var 1)，它可以使用我们想要的任何变量名来编写; Lam 2 (Var 2)，Lam 3 (Var 3)，...都是相同的身份函数。通常lambda术语中的lambdas需要知道它们绑定的变量的名称。 De Bruijn索引术语中的lambdas不需要变量名，它们总是开始绑定变量BVar 0。

Answer 3

（所有家庭作业类型问题的通用答案）

＆＃34;此时这项任务已经超出了我的想法。＆＃34;

你确定吗？您的老师出于以下原因设置这些作业：他们与讲座有关。您有99.99％的机会可以使用您拥有的知识来完成它们。

检查您的讲义，检查讲座中提供的参考文献（即，转到图书馆）。我很确定答案是“De Bruijn术语与Lambda术语之间的区别是什么？＆＃34;在某处。

如果您在经过合理的努力后找不到它，请与您的同学一起检查，然后与您的助教一起检查，然后与您的老师联系。

可悲的是，SO容忍（甚至吸引）家庭作业类型的问题（以及回答它们的奖励），原因很明显（它会增加点击次数）。这有助于SO（短期内），但不是学生（从长远来看）。

Haskell - 将De Bruijn术语转换为Lambda术语（反之亦然）

3 个答案: