如何改善这个功能的执行时间？

Question

假设f(x,y)是一个双变量函数，如下所示：

function [ f ] = f(x,y)
    UN=(g)1.6*(1-acos(g)/pi)-0.8;
    f= 1+UN(cos(0.5*pi*x+y));
end

如何使用以下代码改善函数F(N)的执行时间：

function [VAL] = F(N)
x=0:4/N:4;
y=0:2*pi/1000:2*pi;
VAL=zeros(N+1,3);
for i = 1:N+1
    val = zeros(1,N+1);
    for j = 1:N+1
        val(j) = trapz(y,f(0,y).*f(x(i),y).*f(x(j),y))/2/pi;
    end
    val = fftshift(fft(val))/N;
    l = (length(val)+1)/2;
    VAL(i,:)= val(l-1:l+1);
end
VAL = fftshift(fft(VAL,[],1),1)/N;
L = (size(VAL,1)+1)/2;
VAL = VAL(L-1:L+1,:);
end

请注意N=2^p p>10，所以请在使用ndgrid，arrayfun等优化代码时考虑内存限制。

仅供参考：代码打算找到fftn

的中心3×3子矩阵

fun=@(a,b) trapz(y,f(0,y).*f(a,y).*f(b,y))/2/pi;

其中a,b位于[0,4]。关键的想法是，当N非常大时，我们可以使用上面的代码特别节省内存。但由于嵌套循环，执行时间仍然是一个问题。请参阅下图中的N=2^2：

Answer 1

这不是一个完整的答案，但有些可能有用的提示：

0）琐碎：你确定需要数字吗？你不能分析计算吗？

1）不要使用功能句柄：

function [ f ] = f(x,y)
    f= 1+1.6*(1-acos(cos(0.5*pi*x+y))/pi)-0.8
end

2）分析简化：acos(cos(x))与abs(mod(x + pi, 2 * pi) - pi)相同，后者的计算速度应稍快一些。或者，不是采样然后进行数值积分，而是首先进行分析整合并对结果进行采样。

3）FFT是计算完整DFT的一种非常有效的算法，但您不需要完整的DFT。由于您只需要中心3 x 3系数，因此直接应用DFT definition并仅针对您想要的系数计算公式可能更有效。这应该既快速又节省内存。

4）如果您反复进行此计算，预计算DFT系数可能会有所帮助。在这里，信号处理工具箱中的dftmtx可以提供帮助。

5）为了摆脱循环，考虑问题不是以计算指令的形式，而是单个矩阵运算。如果您将输入N x N矩阵视为具有N 2个元素的向量，并将输出3 x 3矩阵视为9元素向量，则应用整个操作（通过trapz进行数值积分并通过{{进行DFT 1}}）似乎是一个简单的线性变换，应该可以表示为N²x9矩阵。