对于软件基础的练习，我想证明以下定理：
Theorem rev_pal {X:Type} : forall (l:list X), l = rev l -> pal l.
朋友定义如下：
Inductive pal {X:Type} : list X -> Prop :=
| pal_nil : pal []
| pal_one : forall x, pal [x]
| pal_rec : forall x l, pal l -> pal (snoc(x:: l) x).
然而，为了证明这一点，我想使用exists的引理来说明例如：
foral (l l':list X) (a b:X), a::l = l' ++[b] -> (a=b /\ l=[]) \/ exists k, l = k ++ [b].
事实上，我想提一些比l更少的东西。但使用destruct策略似乎没有帮助。
为什么我不想使用exists是因为在阅读本书软件基础时，我们还没有看到exists。当然，有人可以告诉我，exists可以被视为forall，但在这种形式下难以使用。
那么如何在没有这样的引理的情况下证明这个定理呢？我被卡住了。
答案 0 :(得分：3)
您无法通过l上的直接归纳来证明您的定理。
对于归纳步骤，归纳假设为pal l（在清除前提后）并且您试图证明pal (x :: l)。
但是归纳假设显然与结论相矛盾（除非repeat x n = l），因此它无法使用。
看到书中的这一点，没有提及更高级的感应，这是一个五星级的练习，我认为可以安全地得出结论，你有更多自由锻炼。
答案 1 :(得分：2)
如前所述，使用列表的长度更容易证明这个定理：
Theorem rev_pal_aux {X:Type} : forall (l:list X) (n:nat) , length l<= n -> l = rev l -> pal l.
然后你可以在n上开始归纳。
避免使用存在的关键点是使用反转。对于这个证明，可以在x::l=rev x::l之类的内容上使用反转，然后在rev l上使用反转（对于某些l）。这样，您将获得x :: l = snoc (x0 :: l0) x（l0是新的）。
（l0）是关键。你需要使用归纳假设在l0上。
最后，我使用了以下引理（不太容易证明）：
Lemma length_snoc_aux {X:Type} : forall (l m:list X) (n:nat) (x:X), length l <= n -> l = snoc m x -> length m <= n.