查找度数小于其邻居的图形中的所有顶点

Question

我正在尝试编写一种算法，该算法将在图形中找到程度小于其邻居的所有顶点的集合。我最初的方法是找到每个顶点的度数，然后通过列表，比较每个顶点的程度与其邻居的程度。不幸的是，这看起来可能非常耗时。有没有更有效的方法来找到这个集合？

Answer 1

一条评论 - 如果你正在使用无向图（谢谢，Brian R. Bondy），一旦你确定一个顶点的度数小于其所有邻居的程度，你不需要检查邻居，因为他们都不会拥有该属性。考虑使用这些知识来帮助你加快速度。

Answer 2

也许“看起来这可能非常耗时”，但有更好的方法可以找到： - ）

假设您已将图表存储为邻接列表。要找到您正在寻找的集合，您必须查看所有边缘，因此我们对该算法有一个下界Ω（| E |）。找到每个顶点的度数需要时间O（| E |）（因为你只看一次每个边缘;另一个证明是使用Σd（v）= 2 | E |的事实）。比较每个顶点与其所有邻居的程度也只需要O（| E |）时间（同样，对于每个边，只进行一次比较）。这意味着您的算法在O（| E |）时间内运行（大约2 | E |“步”，但CPU指令的精确数量取决于您的实现），它符合下限。因此，在最坏的情况下，你的“蛮力”算法基本上（最多小到一个常数）尽可能快，因此不值得进一步优化。

如果您正在为实际应用程序执行此操作，并且确实发现您的算法花费了太多时间，那么请使用分析器查找要优化的部分。优化算法的第二阶段至关重要，这一点并不明显。

Answer 3

我会想象一个对于无向图的贪婪方法如下：

let Q = all nodes which haven't been checked (initialize all V)
let Q* = all nodes which satisfy the required condition (initialize to empty)
start with an arbitrary node, v in Q
while Q is not empty
    let minDeg be the minimum degree of all v's neighbors
    if degree(v) < minDeg
        add v to Q*
        remove all neighbors of v from Q
        remove v from Q
        set v = new arbitrary node, v in Q
    else
        remove v from Q
        set v = v's neighbor in Q of minimum degree

这个算法可能稍微有点效率，因为在每次迭代时，它要么找到满意的节点，要么检查较低程度的新节点并从图中删除节点。

在最坏的情况下，它将等同于您的强力算法。不过，平均而言，我认为应该表现得更好。