计算朝向给定侧的法线

Question

给定是一条线（线段），由两个向量start(x,y)和end(x,y)定义。我还有一个点p(x,y)，它位于由线条分隔的两个区域中的任意一个区域（即， >完全在线上）。

如何计算面向p所在一侧的线的法线？

Answer 1

让：

A = (a,b) and B = (c,d) define the line segment
P = (p,q) be the other point.

定义：

dot( (p,q), (r,s) ) == p*r + q*s

然后是矢量：

v = ( c-a, d-b)

定义沿线段的方向。它的垂直是：

u = (d-b, (-(c-a)) = (d-b,a-c)

将点积与v一起使用可以看出这一点。要从垂直方向获得法线，只需除以其长度：

n = u /|u|, |u| = sqrt( dot(u,u))

我们现在只需要知道P相对于法线的位置。如果我们采取：

dir = dot( (P-A), n) ) 

然后dir > 0表示n与P方向相同，而dir < 0表示方向相反。应该dir == 0，然后P实际上是在扩展行上（不一定是行段本身）。

Answer 2

首先，通过取end-start和p-end的叉积来确定该点位于哪一侧：

z =（x _end -x _start ）（y _p -y _end ） - （y <子>端 -y <子>启动）（X <子> p -x <子>端）

如果z> 0，则该点位于该行的左侧（由站在开始且面向结束的人看到）。如果z <0，则该点位于该行的右侧。

其次，规范化线段：

S = 结束 - 开始
k = S / | S |

最后，如果该点位于该行的左侧，则向左旋转 k ：

（x _k ，y _k ）=＆gt; （-y _k ，x _k ）

或如果该点位于该行的右侧，请向右旋转 k ：

（x _k ，y _k ）=＆gt; （y _k ， - x _k ）

Answer 3

我的数学技能有点生疏，所以我不能给你精确的计算，但你做的是这个（假设你的描述是2D）：

1. 首先计算正常n。
2. 然后你计算P'，这是你的点P在你的线上的垂直投影。 基本上，你做的是，你“创建”另一条线并使用步骤1中的向量n作为方向（y = p + x * n其中y，p和n是向量，p实际上是你的p（x，y）和x是实数），然后你将这条线与第一条线相交，它们相交的点是P' 看到你来自奥地利，其他人请原谅我使用一个德语单词，我真的不懂英语翻译，也找不到。 P'=Lotfußpunkt
3. 计算P - P'。如果它在两个组件中都与n具有相同的符号，则n是您正在搜索的法线。如果它的符号相反，则-n是您要搜索的符号。

我希望这个想法很清楚，即使我不懂所有英文技术术语。

Answer 4

有关 start =（a，b） 结束=（c，d） p =（x，y）

斜率（startend）=（d - b）/（c - a）

斜率（标准）= - （c - a）/（d - b）

标准线必须包括p =（x，y），所以

ynorm = - （（c - a）/（d - b））* xnorm +（y +（（c - a）/（d - b））* x）

Answer 5

y = mx + c

是法线方程，其中m是斜率，c是任何常数。

你有开始和结束。让我们称它们（x1，y1）和（x2，y2）和连接它们的线L1。 该线的斜率m1是（y2-y1）/（x2-x1）。这条线垂直于你需要的线，我们可以用斜率m2调用L2。 2个互相垂线的斜率乘积为-1。因此， M1 * M2 = -1。

因此你可以计算m2。现在，您需要找到L2线的等式。你在P（x，y）行中有1个点。您可以这样替换： Y =平方米* X + C。

这会给你c。获得线方程后，可以将其转换为参数形式，如下所示：

http://thejuniverse.org/PUBLIC/LinearAlgebra/LOLA/lines/index.html

Answer 6

该行的等式以

给出

A = start.y-end.y
B = end.x-start.x
C = start.x*end.y-start.y*end.x

A*x + B*y + C = 0

点d行的最小距离p=(px,py)为

d = (A*px+B*py+C)/sqrt(A^2+B^2)

如果值为正，则该点从向量(start->end)逆时针旋转。如果为负，那么它是顺时针旋转。因此，如果(start->end)指向上方，那么正距离就在该行的左侧。

实施例

start = (8.04, -0.18)
end = (6.58, 1.72)
P = (2.82, 0.66)
A = (-0.18)-(1.72) = -1.9
B = (6.58)-(8.04) = -1.46
C = (8.04)*(1.72)-(-0.18)*(6.58) = 15.01
d = (A*(2.82)+B*(0.66)+C)/√(A^2+B^2) = 3.63

d的计算显示与草图中矢量(near->P)的长度相同的值。

Answer 7

N = (Ey - Sy, Sx - Ex)垂直于线条（SE旋转90°，未标准化）。

然后计算点积的符号

N . SP = (Ey - Sy)(Px - Sx) + (Sx - Ex)(Py - Sy),

它会告诉你法线正指向哪一侧。