用于表示2D网格的高效数据结构

Question

有一个任意大小的二维网格。 （例如1000 * 1000）

这是模式：

给定的输入是四个整数：x y w h，表示每个矩形左下角的（x，y）坐标及其宽度和高度。

具有共享边缘或重叠的矩形定义为已连接。

一组连接的矩形被定义为群集。

每个单位单元格上的矩形数量定义为厚度。

所以问题要求计算： 1.最大厚度 2.集群数量 3.单个群集的最大群集元素数 4.单个群集的最大区域

例如，在上图中，最大厚度为3，并且有2个簇。一个簇由3个矩形组成，其面积为44.另一个簇中的元素数为4，区域为30.因此，具有最大簇元素数的簇为4，最大簇区域为44。

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我的解决方案非常天真。我使用了一个2-d int数组来表示网格。读取输入时，我只是增加相应单元格中的数字。读完所有输入后，我使用深度优先搜索来决定聚类。

问题是我的算法很慢并且在给定大输入时很快就会无法使用（例如当网格大小超过1000 * 1000时）

所以我想知道有没有有效的数据结构和算法来解决这个问题？

Answer 1

  

读完所有输入后，我使用深度优先搜索来决定群集。

您不需要这样做 - 您可以在阅读输入时决定群集，就像您决定厚度一样。

对于每个单元格，跟踪它所属的集群。在迭代与读取矩形对应的网格单元格时，跟踪它们所属的聚类。将在此遍历期间找到的所有群集合并到单个群集中。您可以使用Disjoint-set数据结构在非常接近恒定的时间内有效地执行此操作。

但是，sweep line algorithm可能会更好地解决您的整个问题。

Answer 2

我认为您刚刚使用2D AABB结构描述了空间分区。

输入网格被抛入树中并任意定向。树的目的是排序。

您可能需要扩展树的功能以满足您的需求（例如，连接，跟踪群集，图层/厚度）。

用于包含2D AABB的空间分区树可以加宽，展开或叶缓存，以有效减少访问时间。

视频游戏中的2D物理引擎使用它可以在任意大（大致无限）的网格大小上轻松有效地管理数百到数千个任意形状的对象碰撞。它们的处理可以通过OpenCL（用于CPU和GPU）或其他GPGPU技术等技术加速。

请参阅AABBs上的这篇维基百科文章。

有关使用（二进制）树进行空间分区的一般概念，请参阅BSPs上的这篇维基百科文章。

在quadtrees上查看这篇维基百科文章作为可能更容易实现的高阶树概念，如果一切都是AABB，甚至可能更快，因为它的宽度要宽4倍。你也可以压扁甚至更高阶的树木，尽管对于2D空间来说，这些效益大多数似乎是四边形。

请参阅collision detection上的这篇维基百科文章，了解确定连接和群集的方法。

请参阅splay trees上的这篇维基百科文章，了解有关推广和扩大树木的好处的想法。

Answer 3

我的建议是结合当前给出的另外两个答案：使用一些空间数据结构（如AABB树或四叉树）来存储到目前为止已处理的所有矩形，以便您可以快速找到连接的矩形;然后将连接的集群存储在union find或disjoint集数据结构中。

一旦您处理了所有矩形，您就可以在线性时间内回答问题2和3。问题1（最大厚度）有点棘手;如果您不小心，如果所有矩形重叠，您最终可能会进行二次数重叠测试。同样的答案4。

因此，当您输入与空间数据结构重叠的矩形时，最佳解决方案可能是将其拆分为不变厚度的不相交部分。然后1和4也很容易回答相对较快。