有没有更好的方法来使用有理数来实现斐波纳契公式？

Question

我正在阅读Learn you some Haskell for the Greater Good书，因为我正在玩Haskell中的递归我实现了斐波那契函数，递归版很简单，可能会有所改进：

-- recursive fibonacci numbers
rfib :: Int -> Int
rfib 0 = 0
rfib 1 = 1
rfib n =   rfib (n-1) + rfib(n-2)

当我在谷歌上搜索更多内容时，我偶然发现了这篇文章： http://java.dzone.com/articles/what-fibonacci-taught-me-about

作者展示了斐波纳契公式：

我决定使用有理数在Haskell中实现它，以避免浮点不精确。我的实现如下：

fibMultiplier   = (toRational 1) / (toRational (sqrt 5))
firstFibTerm  n = (((toRational 1)  + (toRational (sqrt 5))) / toRational 2) ^ n
secondFibTerm n = (((toRational 1)  - (toRational (sqrt 5))) / toRational 2) ^ n

fib :: Int -> Int
fib n = truncate (fromRational (fibMultiplier * firstFibTerm n) - (fibMultiplier * secondFibTerm n))

作为一名初学者，我确信上面的代码可以大大改进，你能指出我可以改进的地方或者我犯过的错误吗？

我赞成帮助。

更新

因此，在讨论了这些建议后，我发现使用Data.Real.Constructible快速而准确，没有舍入错误。我的最终实施是：

fib :: Int -> Construct
fib n = ( ( (1 / (sqrt 5)) * ( (( 1 + (sqrt 5) ) / 2) ^ n ) ) -
          ( (1 / (sqrt 5)) * ( (( 1 - (sqrt 5) ) / 2) ^ n ) ) )::Construct

我还实现了一个返回n个斐波那契数字列表的函数：

fibList :: Int -> [Construct]
fibList n = [fib(x) | x <- [0..n]]

使用此功能，我们可以比较不同实现的结果：

-- recursive fibonacci numbers
rfib :: Int -> Int
rfib 0 = 0
rfib 1 = 1
rfib n =   rfib (n-1) + rfib(n-2)

-- recursive fibonacci sequence
rfibList :: Int -> [Int]
rfibList n = [rfib(x) | x <- [0..n]]
-- rfibList 20 returns: [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765]


-----------------------------------


-- fibonacci number using Double and truncate
doubleFib :: Integer -> Integer
doubleFib n = truncate ( ( (1 / (sqrt 5)) * ( (( 1 + (sqrt 5) ) / 2) ^ n ) ) -
                         ( (1 / (sqrt 5)) * ( (( 1 - (sqrt 5) ) / 2) ^ n ) ) )

-- fibonacci list using Double and truncate
doubleFibList :: Integer -> [Integer]
doubleFibList n = [doubleFib(x) | x <- [0..n]]
-- doubleFibList 20 returns: [0,1,0,2,3,5,8,13,21,34,55,89,143,232,377,610,986,1597,2584,4181,6764]


-----------------------------------


-- fibonacci number using Construct
constructFib :: Int -> Construct
constructFib n = ( ( (1 / (sqrt 5)) * ( (( 1 + (sqrt 5) ) / 2) ^ n ) ) -
                   ( (1 / (sqrt 5)) * ( (( 1 - (sqrt 5) ) / 2) ^ n ) ) )::Construct

-- fibonacci list using construct
constructFibList :: Int -> [Construct]
constructFibList n = [constructFib(x) | x <- [0..n]]
-- constructFibList 20 returns: [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765]

请注意，我们在doubleFibList上得到一个舍入错误，第16个数字应为987，但我们得到986。递归实现很慢，Double实现是不精确的，但是使用Construct我们可以得到一个快速而精确的fibonacci序列，比使用toRational的旧实现要好得多。

Answer 1

（您无法使用sqrt版本，请改用Data.Real.Constructible）

import Data.Real.Constructible 

fib :: Int -> Construct 
fib n = (((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n)/sqrt(5)