Question

我想知道基数幂X ^ n中的元素数量（一组X的主要乘积本身，n次）和多数约束：X ^ n中有多少元素具有（相对）多数集合中的一个元素（比如x）？

最重要的是，我想将基本功率中的一个元素固定到某个值（比如第二个），并用这个固定值计算可能性的数量。

我们举个简单的例子，X = {A，B，C}，n = 4。问题是：在第二个位置有多少四个字母的单词有一个（相对）多数的A（答案：13，见here）？有多少人有（相对）多数的B？

在具有3行（{A，B，C}）和n = 4列的网络中，假设从左到右的路径（例如，使用节点A1，然后是B2，然后是A3，最后是C3），问题变为：有多少路径通过节点A2并且（相对）大多数是A节点？

I'm looking for a closed form formula，但找不到一个。

是否可以枚举所有产品并在python中过滤它们？

我的原始集合中有8个元素，我重复它们n = 24次。它非常大（> 10'9），但可能会简化，也许？

Answer 1

我不能给你一个理论上的答案，但这里有一些python代码可以帮助你入门。

import itertools, collections

items = 'ABCDEFGH'
n = 4

r = collections.Counter()

# for symmetry reasons, it doesn't matter which position you "fix"
# so to count `'ABCD'^n` with fixed 'A' 
# we have to count `'ABCD'^n-1` and just add 1 for 'A'.    

for p in itertools.product(items, repeat=n-1):
    c = collections.Counter(p)
    c['A'] += 1
    m = c.most_common(2)
    if len(m) == 1 or m[0][1] > m[1][1]:
        r[m[0][0]] += 1
    else:
        r['no_major'] += 1

print r

关于您的具体数字，迭代8^24项目听起来并不现实。在你走到这一步之前，你必须得出一个公式！

Answer 2

无法过滤，并且有一个封闭的表格公式（参见数学here）。

以下是如何在python中解决这个问题（灵感来自here）：

安装sympy ，以便在python中发现符号代数（download，解压缩，转到文件夹python setup.py install ，那就是它）
导入内容

来自sympy.abc import x

来自sympy import expand

来自sympy import factorial

小心：不要使用数学中的因子，而应该使用同情的因子;所以不要from math import factorial（见here）。

展开 多项式

d1 = expand（）

提取系数

打印d1 [x ** n]

对于简单示例 here（n = 4，m = 3），我们需要在其上导入求和，字母j，k，

来自sympy import summation

来自sympy.abc import j，k

导入数学

d1 =展开（求和（x **（k-1）/阶乘（k-1）*求和（x **（j-1）/阶乘（j-1），（j，1，k））** 2，（k，0,4）））。as_coefficients_dict（）

d1 [x ** 3] * math.factorial（3）

解决方案是13。

对于大例子，，n = 24，m = 8：

d2 =展开（求和（x **（k-1）/阶乘（k-1）*求和（x **（j-1）/阶乘（j-1），（j，1，k））** 7，（k，0,24）））。as_coefficients_dict（）

d2 [x ** 23] * math.factorial（23）

解决方案是105097074808684277656。计算需要1-2小时。

基于多数约束在python中过滤笛卡尔积（笛卡尔幂）

2 个答案: