Question

为什么来自scipy.sparse.linalg的eigh和eigsh在解决广义特征值问题时给出不正确的结果A * x = lambda * M * x，如果M是非对角线的话？

import mkl
import numpy as np
from scipy import linalg as LA
from scipy.sparse import linalg as LAsp
from scipy.sparse import csr_matrix

A = np.diag(np.arange(1.0,7.0))
M = np.array([[ 25.1,   0. ,   0. ,  17.3,   0. ,   0. ],
       [  0. ,  33.6,  16.8,   8.4,   4.2,   2.1],
       [  0. ,  16.8,   3.6,   0. ,  11. ,   0. ],
       [ 17.3,   8.4,   0. ,   4.2,   0. ,   9.5],
       [  0. ,   4.2,  11. ,   0. ,   2.7,   8.3],
       [  0. ,   2.1,   0. ,   9.5,   8.3,   4.4]])

Asp = csr_matrix(np.matrix(A,dtype=float))
Msp = csr_matrix(np.matrix(M,dtype=float))

D, V = LA.eig(A, b=M)

eigno  = 4
Dsp0, Vsp0 = LAsp.eigs(csr_matrix(np.matrix(np.dot(np.linalg.inv(M),A))),
                         k=eigno,which='LM',return_eigenvectors=True)
Dsp1, Vsp1 = LAsp.eigs(Asp,k=eigno,M=Msp,which='LM',return_eigenvectors=True)
Dsp2, Vsp2 = LAsp.eigsh(Asp,k=eigno,M=Msp,which='LA',return_eigenvectors=True,
                          maxiter=1000)

从LA.eig和MatLab检查这个小的广义特征值问题的特征值与测试矩阵A和M应该是：

D = [ 0.7208+0.j,  0.3979+0.j, -0.3011+0.j, -0.3251+0.j,  0.0357+0.j,  0.0502+0.j]

我想使用稀疏矩阵，因为所涉及的实际A和M矩阵大约为30,000 x 30,000。 A总是正方形，真实和对角线，M总是正方形，真实和对称。当M是对角线时，我得到了正确的结果。然而，当求解非对角M矩阵的广义特征值问题时，eigs和eigsh都给出了不正确的结果。

Dsp1 = [-1.6526+2.3357j, -1.6526-2.3357j, -0.6243+2.7334j, -0.6243-2.7334j]

Dsp2 = [ 2.01019097,  3.09248265,  4.06799498,  7.01216316]

当我将问题转换为标准特征值形式M ^ -1 * A * x = lambda * x时，eigs给出正确的结果（Dsp0）。对于大型矩阵，这不是一个选项，因为计算M的倒数需要太长时间。

我注意到使用mkl或不产生不同的Dsp1和Dsp2特征值。这个特征值问题可能是由我的Python安装问题引起的吗？我在Mac OS 10.10.2上使用SciPy 0.15.1 - np19py27_p0 [mkl]运行Python 2.7.8 anaconda。

Answer 1

eigs和eigsh都要求M为positive definite（有关详细信息，请参阅文档字符串中M的说明）。

你的矩阵M不是肯定的。注意负特征值：

In [212]: M
Out[212]: 
array([[ 25.1,   0. ,   0. ,  17.3,   0. ,   0. ],
       [  0. ,  33.6,  16.8,   8.4,   4.2,   2.1],
       [  0. ,  16.8,   3.6,   0. ,  11. ,   0. ],
       [ 17.3,   8.4,   0. ,   4.2,   0. ,   9.5],
       [  0. ,   4.2,  11. ,   0. ,   2.7,   8.3],
       [  0. ,   2.1,   0. ,   9.5,   8.3,   4.4]])

In [213]: np.linalg.eigvals(M)
Out[213]: 
array([ 45.92443169,  33.92113421, -13.12639751, -10.6991868 ,
         5.34183619,  12.23818222])

不正确的特征值SciPy稀疏linalg.eigs，非对角M矩阵的eigsh

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