Question

假设我有2个相同大小的未排序数组，例如：

A = {1, 4, 3, 2}
B = {5, 12, 1, 5}

我想找到每2个单元格的最小乘数 - 每个数组一个，意思是 - A[i] * B[j]的总和（i是A中的索引，{ {1}}是j）中的索引。我应该将哪些值乘以另一个数组中的哪些值以获得最小的乘积总和？

（我希望很明显，一旦你执行了B，你就无法再触摸那些细胞......）

编辑：对于上面的示例，最小总和是： 1 * 4 + 3 * 5 + 5 * 2 + 1 * 12 = 31

Answer 1

为了找到最小的总和，请按顺序排列一组，另一组按降序排列，然后沿同样的顺序相乘。

这是因为每个配对a[i] * b[j]的最小可能产品（对于固定a[i]，因为需要为每个元素生成结果）是b[j]的最小可能值反之亦然。

这也适用于否定因为最大的负数是最小数，因此与推论数组中的最正数配对。即使两个集合都是负数，这也会继续进行，因为每个乘法的结果都等同于两个集合都具有其值的负数。

Answer 2

Aravol给出了一些关于为什么反向排序匹配是最优的直觉，但是对于这种事情，我认为真正严格证明它始终有效是有用的。

证明这一点的一种方法是显示，给定任何尚未反向排序的匹配，稍微更改该匹配以使其“更像”反向排序匹配永远不会增加总数。如果我们能够证明这个过程

可以从任何匹配开始，
始终以反向排序匹配终止，

然后我们已经证明反向排序匹配并不比任何其他匹配更差 - 这与显示它具有最低可能总数相同。我想强调的是，任何算法都不会实际执行以下任何计算。出于证明的目的，我们必须表明的是，可以执行，并且如果是这样，他们将具有所需的行为。

为此，我们假设我们以一组对的形式给出任意匹配。作为第一步，让我们按照第一个元素按顺序对它们进行排序。（我们可以这样做，因为列出对的顺序不会影响它们的总和。）在排序后调用第i对（x [i]，y [i]）;根据定义，在排序之后我们对所有i都有x [i]＆lt; = x [i + 1]。现在，如果匹配尚未进行反向排序，则必须存在一对违反反向排序的相邻y值 - 即必须有一些i使得y [i]＆lt;值Y [i + 1]。让我们选择i发生的第一个（最低）值，看看如何交换y [i]和y [i + 1]将影响总数。为此，我们可以减去两个旧对的贡献，并添加两个新对的贡献：x [i] y [i + 1] + x [i + 1] y [i] - x [i] y [i] - x [i + 1] y [i + 1] = x [i]（y [i + 1] - y [i]）+ x [i + 1]（y [i ] - y [i + 1]）。设d = y [i + 1] - y [i]，这简化为x [i] d - x [i + 1] d = d（x [i] - x [i + 1]）。我们知道x [i] - x [i + 1] <= 0，并且由于我们如何选择i，我们也知道d＆gt; 0，所以他们的产品必须<= 0.换句话说，执行此交换永远不会增加总数。

但它是否让我们“更接近”反向排序匹配，从而终止？是的，因为重复此查找违规然后交换过程就像插入排序第一个i + 1元素一样。我们称之为y [i + 1] z的原始值。在交换y [i]和y [i + 1]之后，z值刚刚移回对中列表中的一个位置。如果我们重新运行查找第一个反向排序违规的过程，我们现在可能会发现它发生在i-1（即我们发现y [i-1]＆lt; y [i]） - 在这种情况下，我们可以将y [i-1]与y [i]交换，将z值移回另一个地方。我们可以继续这样做，直到z到达y [1]，或者我们发现第一个位置j使得y [j]＆lt; y [j + 1]也具有y [j-1]＆gt; = y [j + 1]的属性：后者意味着z值已到达其最终位置，因为我们知道y [k]＆gt ; = y [j-1]表示所有k＆lt; J-1。在任何情况下，z将在最多i次交换之后到达其最终位置，并且下一次违规查找运行将比原始i更晚找到位置 - 或者确定没有这样的位置（即，y值是现在反向排序）。

总而言之，在最多n ^ 2次违规然后交换操作之后，y值将按反向排序顺序，总数最多为原始总数。由于我们没有对给出的初始匹配做出任何假设，因此该结果适用于给定匹配的任何，因此我们已经证明反向排序匹配至少与所有匹配一样好。（请注意，此证明的任何方面都不取决于非负数，因此这也适用于包含负数的数组。）

Answer 3

这个定理名为Rearrangement inequality

制作证明：

最简单的证据是矛盾而不是@ j_random_hacker。

我们假设a按递增顺序排序。

由于每个单元格从不接触多个单元格，因此一个选项对应于排列s，总和为f(s) = sum(a[i]*b[s(i)], i=1..n)

由于排列的数量是有限的，至少有一个最小值。

我们将s1命名为此最低要求之一。所有的f(s1)<=f(s)

我们可以使用相同的总和s2（例如f(s1)=f(s2)<=f(s)）通过简单地按子序列b [s1（k）]降序排序来转换if a[i] = a[i+1] then b[s2(i+1)] >= b[s2(i)] (1)。[[其中a[k] = a[k+1] = .. q[k+n]

的b的s1（k + n）]

所以f(s2)也很小。让我们证明b(s2[k])正在逐渐减少。

我们假设它存在i，例如b[s2(i)] < b[s2(i+1)] (2)

因为(1), a[i]!= a[i+1]

所以a[i] < a[i+1] (3)

因b[s2(i)] - b[s2(i+1)] < 0 (4)

而导致(2) a[i] - a[i+1] < 0 (5) 因(3)

而导致

a[i]*b[s2(i)]+a[i+1]*b[s2(i+1)]-(a[i]*b[s2(i+1)]+a[i+1]*b[s2(i)])
=a[i]*(b[s2(i)]-b[s2(i+1)])+a[i+1](b[s2(i+1)-b[s2(i)])
=(a[i]-a[i+1])(b[s2(i)]-b[s2(i+1)]) >=0 (because of  product of two negative number because of (4) and (5)

so  a[i]*b[s2(i)]+a[i+1]*b[s2(i+1)] - (a[i]*b[s2(i+1)]+a[i+1]*b[s2(i)])>0
so a[i]*b[s2(i)]+a[i+1]*b[s2(i+1)] > (a[i]*b[s2(i+1)]+a[i+1]*b[s2(i)]) (6)

s3

在这种情况下

让我们设置排列i+1交换s3(n) = i+1 if n = i i if n = i+1 s2(n) a[i]*b[s2(i)]+a[i+1]*b[s2(i+1)] > (a[i]*b[s3(i)]+a[i+1]*b[s3(i+1)]) and a[n]*b[s2(n)]=s[n]*b[s3(n)] for n!= i and n!=i+1 so f(s2)>f(s3)和s3

s2

所以(2)是比i

更好的排列

存在矛盾，因此假设b[s2(i)] < b[s2(i+1)] (2)是错误的。

因此对于所有b[s2(i)] >= b[s2(i+1)] for all i s2都是假的

所以b[s2(k)]

所以<!DOCTYPE html> <html> <head> <meta charset="utf-8"> <meta name="viewport" content="width=device-width"> <title>JS Bin</title> <script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.2.1/jquery.min.js"></script> <script> $(document).ready(function() { $("#btn").click(function() { var index = $("#txtIndex").val(); alert($('.ThreeWayCol .OddVal').eq(index).text()); }); }); </script> </head> <body> <div class="ThreeWayCol OddsCol1"> <div class="OddVal ng-pristine ng-untouched ng-valid ng-binding ng-scope ng-not-empty" ng-repeat="sel in event._matchMarket.selections" ng-model="sel" ng-class="{'Sel': oddSelections[event.id].sels[sel.id]}" ng-click="selectOdd(event,event._matchMarket,sel)">3.37</div> <div class="OddVal ng-pristine ng-untouched ng-valid ng-binding ng-scope ng-not-empty" ng-repeat="sel in event._matchMarket.selections" ng-model="sel" ng-class="{'Sel': oddSelections[event.id].sels[sel.id]}" ng-click="selectOdd(event,event._matchMarket,sel)">3.21</div> <div class="OddVal ng-pristine ng-untouched ng-valid ng-binding ng-scope ng-not-empty" ng-repeat="sel in event._matchMarket.selections" ng-model="sel" ng-class="{'Sel': oddSelections[event.id].sels[sel.id]}" ng-click="selectOdd(event,event._matchMarket,sel)">2.07</div> </div> <hr /> <input type="text" placeholder="Enter index like: 0,1" id="txtIndex" /> <input type="button" value="Get Value" id="btn" /> </body> </html>如ProcessBuilder builder = new ProcessBuilder("/system/bin/sh"); builder.redirectErrorStream(true); builder.directory(f); p = builder.start(); stdOut = p.getInputStream(); stdIn = p.getOutputStream(); stdIn.write(("ls\n").getBytes()); stdIn.write(("echo EOF\n").getBytes()); while(true) { int n; try { n = stdOut.read(); } catch (Exception | Error e) { return; } if(n == -1) continue; char c = (char) n; if(c == '\n') { if(line.equals("EOF")) break; else { if(write) outputable.onOutput(line); outputMsg[0] = outputMsg[0] + "\n" + line; line = ""; } } else { line = line + c; } }递减顺序。因此，选择b的递减给出最佳结果。

通过类似证明，可以证明产品的最大总和是通过按升序排序a和b来给出的。

给定2个数组，找到索引乘法的最小和

3 个答案: