Numpy Broadcast执行欧几里德距离矢量化

Question

我有2 x 4和3 x 4的矩阵。我想找到跨行的欧几里德距离，最后得到一个2 x 3矩阵。这是带有一个for循环的代码，它计算针对所有b行向量中每个行向量的欧氏距离。如何在不使用for循环的情况下执行相同的操作？

 import numpy as np
a = np.array([[1,1,1,1],[2,2,2,2]])
b = np.array([[1,2,3,4],[1,1,1,1],[1,2,1,9]])
dists = np.zeros((2, 3))
for i in range(2):
      dists[i] = np.sqrt(np.sum(np.square(a[i] - b), axis=1))

Answer 1

以下是原始输入变量：

A = np.array([[1,1,1,1],[2,2,2,2]])
B = np.array([[1,2,3,4],[1,1,1,1],[1,2,1,9]])
A
# array([[1, 1, 1, 1],
#        [2, 2, 2, 2]])
B
# array([[1, 2, 3, 4],
#        [1, 1, 1, 1],
#        [1, 2, 1, 9]])

A是2x4阵列。 B是一个3x4阵列。

我们想在一个完全向量化的操作中计算欧几里德距离矩阵运算，其中dist[i,j]包含A中第i个实例和B中第j个实例之间的距离。因此dist在这个例子中是2x3

距离

表面上可以用numpy写成

dist = np.sqrt(np.sum(np.square(A-B))) # DOES NOT WORK
# Traceback (most recent call last):
#   File "<stdin>", line 1, in <module>
# ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (2,4) (3,4)

但是，如上所示，问题是元素减法操作A-B涉及不兼容的数组大小，特别是第一维中的2和3。

A has dimensions 2 x 4
B has dimensions 3 x 4

为了进行逐元素减法，我们必须填充A或B来满足numpy的广播规则。我将选择使用额外尺寸填充A，使其变为2 x 1 x 4，这样就可以使阵列成为可能。排列广播的尺寸。有关numpy广播的更多信息，请参阅tutorial in the scipy manual中的this tutorial和最后一个示例。

您可以使用np.newaxis值或np.reshape命令执行填充。我在下面显示：

# First approach is to add the extra dimension to A with np.newaxis
A[:,np.newaxis,:] has dimensions 2 x 1 x 4
B has dimensions                     3 x 4

# Second approach is to reshape A with np.reshape
np.reshape(A, (2,1,4)) has dimensions 2 x 1 x 4
B has dimensions                          3 x 4

如您所见，使用任一种方法都可以使尺寸对齐。我将第一种方法与np.newaxis一起使用。所以现在，这将创建A-B，这是一个2x3x4阵列：

diff = A[:,np.newaxis,:] - B
# Alternative approach:
# diff = np.reshape(A, (2,1,4)) - B
diff.shape
# (2, 3, 4)

现在我们可以将差异表达式放入dist方程式语句中以获得最终结果：

dist = np.sqrt(np.sum(np.square(A[:,np.newaxis,:] - B), axis=2))
dist
# array([[ 3.74165739,  0.        ,  8.06225775],
#        [ 2.44948974,  2.        ,  7.14142843]])

请注意sum超过axis=2，这意味着取2x3x4数组的第三个轴（轴ID从0开始）的总和。

如果您的阵列很小，那么上面的命令就可以了。但是，如果您有大型阵列，那么您可能会遇到内存问题。请注意，在上面的示例中，numpy在内部创建了一个2x3x4阵列来执行广播。如果我们将A推广为维度a x z而将B推广为维度b x z，则numpy将在内部创建用于广播的a x b x z数组。

我们可以通过做一些数学操作来避免创建这个中间数组。因为你将欧几里德距离计算为平方差之和，我们可以利用可以重写平方差之和的数学事实。

请注意，中间项涉及元素方式乘法的总和。这种倍数的总和更好地称为点积。因为A和B都是矩阵，所以这个操作实际上是一个矩阵乘法。因此，我们可以将上述内容重写为：

然后我们可以编写以下numpy代码：

threeSums = np.sum(np.square(A)[:,np.newaxis,:], axis=2) - 2 * A.dot(B.T) + np.sum(np.square(B), axis=1)
dist = np.sqrt(threeSums)
dist
# array([[ 3.74165739,  0.        ,  8.06225775],
#        [ 2.44948974,  2.        ,  7.14142843]])

请注意，上面的答案与之前的实现完全相同。同样，这里的优点是我们不需要为广播创建中间2x3x4阵列。

为了完整性，让我们仔细检查threeSums中每个加号的维度是否允许广播。

np.sum(np.square(A)[:,np.newaxis,:], axis=2) has dimensions 2 x 1
2 * A.dot(B.T) has dimensions                               2 x 3
np.sum(np.square(B), axis=1) has dimensions                 1 x 3

因此，正如预期的那样，最终的dist数组的维度为2x3。

在this tutorial中也讨论了使用点积来代替元素乘法的总和。

Answer 2

我最近在深度学习中遇到了同样的问题（stanford cs231n，Assignment1），但是当我使用

时

 np.sqrt((np.square(a[:,np.newaxis]-b).sum(axis=2)))

出现错误

MemoryError

这意味着我的内存不足（实际上，它在中间生成了一个500 * 5000 * 1024的数组。它太大了！）

为了防止出现这种错误，我们可以使用公式来简化：

代码：

import numpy as np
aSumSquare = np.sum(np.square(a),axis=1);
bSumSquare = np.sum(np.square(b),axis=1);
mul = np.dot(a,b.T);
dists = np.sqrt(aSumSquare[:,np.newaxis]+bSumSquare-2*mul)

Answer 3

只需在正确的位置使用np.newaxis：

 np.sqrt((np.square(a[:,np.newaxis]-b).sum(axis=2)))

Answer 4

此功能已包含在scipy's spatial module中，我建议使用它，因为它将进行矢量化并在引擎盖下进行高度优化。但是，正如另一个答案所显示的那样，有些方法可以让你自己做到这一点。

import numpy as np
a = np.array([[1,1,1,1],[2,2,2,2]])
b = np.array([[1,2,3,4],[1,1,1,1],[1,2,1,9]])
np.sqrt((np.square(a[:,np.newaxis]-b).sum(axis=2)))
# array([[ 3.74165739,  0.        ,  8.06225775],
#       [ 2.44948974,  2.        ,  7.14142843]])
from scipy.spatial.distance import cdist
cdist(a,b)
# array([[ 3.74165739,  0.        ,  8.06225775],
#       [ 2.44948974,  2.        ,  7.14142843]])

Answer 5

使用numpy.linalg.norm也适用于广播。指定axis的整数值将使用向量范数，默认为欧几里德范数。

import numpy as np

a = np.array([[1,1,1,1],[2,2,2,2]])
b = np.array([[1,2,3,4],[1,1,1,1],[1,2,1,9]])
np.linalg.norm(a[:, np.newaxis] - b, axis = 2)

# array([[ 3.74165739,  0.        ,  8.06225775],
#       [ 2.44948974,  2.        ,  7.14142843]])