Question

我目前正在研究项目欧拉问题（www.projecteuler.net），但它有点绊脚石。其中一个问题是提供20x20的数字网格，并要求直线上4个数字的最大乘积。该线可以是水平线，垂直线或对角线。

使用程序语言我没有解决这个问题，但我首先要解决这些问题的部分动机是获得更多经验并学习更多Haskell。
截至目前，我正在网格中读取并将其转换为整数列表列表，例如 - [[Int]]。这使得水平乘法变得微不足道，并且通过对该网格进行转置，垂直也变得微不足道。

对角线是给我带来麻烦的。我想到了一些方法，我可以使用显式数组切片或索引，以获得一个解决方案，但它似乎过于复杂和hackey。我相信这里可能有一个优雅，实用的解决方案，而且我很想听听别人能想出什么。

Answer 1

我不同意可敬的唐斯图尔特。鉴于问题的组合性质以及问题大小仅为20x20的事实，列表列表将足够快。你需要的最后的东西是使用数组索引来实现的。相反，我建议你扩展理查德伯德在其着名的sudoku solver中开发的技术。更具体地说，我建议如下：

编写一个给定序列的函数，返回长度为4的所有连续子序列。
编写一个给定网格的函数，返回所有行。
编写一个给定网格的函数，返回所有列。
编写一个给定网格的函数，返回所有对角线。

掌握这些功能后，您的解决方案将变得简单。但正如你所提到的，对角线并不那么明显。什么是对角线呢？我们来看一个例子：

X . . . . .
. X . . . .
. . X . . . 
. . . X . .
. . . . X .
. . . . . X

假设您使用drop函数并从第0行删除0个元素，从第1行删除1个元素，依此类推。这就是你最后的结果：

X . . . . .
X . . . .
X . . . 
X . .
X .
X

对角线的元素现在形成了你留下的三角形的第一列。更好的是，你剩下的东西的每个列都是原始矩阵的对角线。抛出一些对称变换，你就可以轻松地枚举所有任意大小的方阵的对角线。用你的“长度为4的连续子序列”来解释每一个，鲍勃是你的叔叔！

对于那些可能被卡住的人来说更详细一点：

此问题的关键是组合。对角线分为四组。我的例子给出了一组。要获得其他三个，请将相同的功能应用于转置的镜像，转置和镜像。

Transpose是一个单行函数，无论如何都需要它来干净地恢复列。
镜像比转置更简单 - 想想你可以在Prelude中使用哪些功能。

对称方法将给出每个主要对角线两次;幸运的是，问题表明重复对角线是可以的。

Answer 2

列表是这个问题的错误数据结构，因为它们不会在恒定时间内提供随机索引 - 它们偏向于线性遍历。因此，对于列表，您的对角线将总是更加烦人/更慢。

如何使用数组？例如。 parallel vectors或regular vectors。

Answer 3

嗯，对于这个特殊问题，单个线性列表或数组实际上是最简单的结构！关键是要考虑将这些运行视为以给定的步幅跳过列表。如果网格的大小为 w × h ，那么

横向跑步的步幅 1
纵向跑步有 w
一个对角线跑步的步幅为 w-1
一个对角线跑步的步幅为 w + 1

现在，对于四种运行中的每一种，您只需要计算可能的起点。像这样：

allRuns :: Int -> Int -> Int -> [a] -> [[a]]
allRuns n w h es = horiz ++ vert ++ acute ++ grave
    where horiz = runs [0..w-n]   [0..h-1] 1
          vert  = runs [0..w-1]   [0..h-n] w
          acute = runs [n-1..w-1] [0..h-n] (w-1)
          grave = runs [0..w-n]   [0..h-n] (w+1)

          runs xs ys s = [run (x+y*w) s | x <- xs, y <- ys]
          run i s = map (es!!) [i,i+s..i+(n-1)*s]

当然，在有效的实施中，您将[a]替换为Data.Array Int a和es!! es!

Answer 4

您可以使用!!函数按索引检索列表中的元素。通过递增或递减索引的固定步骤可以获得对角线。

Answer 5

所以你有一个NxN网格，你想要提取长度为M的所有水平，垂直和对角线，然后找到最大的产品。让我们举例说明一些示例4x4网格上的Haskell技术，线长为2：

[[ 1, 2, 3, 4],
 [ 5, 6, 7, 8],
 [ 9,10,11,12],
 [13,14,15,16]]

水平和垂直很容易，你只需要一个从列表中提取长度为M的块的函数：

chunks 2 [1,2,3,4] == [[1,2],[2,3],[3,4]]

此类函数的类型为[a] -> [[a]]。这是一个与列表相关的功能，所以在重新发明轮子之前，让我们看看Data.List中是否有类似的东西。啊哈，tails是相似的，它会从列表开头删除包含越来越多元素的列表：

tails [1,2,3,4] == [[1,2,3,4],[2,3,4],[3,4],[4],[]]

如果我们只能缩短子列表以使其长度为2.但我们可以通过使用map函数将函数应用于列表的每个元素并返回一个新列表：

map (take n) (tails xs) -- [[1,2],[2,3],[3,4],[4],[]]

我不担心较小的线条，因为最初的任务是找到最大的产品，[15, N]≥[15]的乘积，N≥1的乘积。但是如果你想要的话为了摆脱它们，似乎长度为N的列表包含长度为M的N-M + 1个块，因此您可以将take (4-2+1)应用于结果列表。或者，你可以简单地filter列表：

chunks n xs = filter ((==n) . length) $ map (take n) (tails xs)
-- [[1,2],[2,3],[3,4]]

好的，我们可以从列表中提取一个块列表，但是我们有一个2D网格，而不是一个平面列表！ map再次救我们：

map (chunks 2) grid -- [[[1,2],[2,3],[3,4]],[[5,6],[6,7],[7,8]],...]

但事实上，由此产生的代码将块放在单独的列表中，这使得事情复杂化，因为我们实际上并不关心，块从哪一行开始。因此，我们希望按concat . map或等效concatMap将结果列表展平为一级：

concatMap (chunks 2) grid -- [[1,2],[2,3],[3,4],[5,6],[6,7],[7,8],...]

现在，如何从网格中获取垂直块？听起来很可怕，直到你意识到你可以transpose整个网格，即将行和列转换成行，然后应用相同的代码：

concatMap (chunks 2) (transpose grid) -- [[1,5],[5,9],[9,13],[2,6],[6,10],...]

现在困难的部分：对角线。 Norman Ramsey给出了一个想法：如果你可以从第0行删除0个元素，从第1行删除1个元素，等等？对角线将成为垂直线，易于提取。您记得要将函数应用于使用map的列表的每个元素，但是在这里您需要对每个元素应用不同的函数，即drop 0，drop 1，{{1等等drop 2不适合。但是看，map的第一个参数形成了连续数字的模式，可以表示为无限列表drop。现在，如果我们可以从[0..]中获取一个元素，我们需要的是一个从无限列表[0..]中取一个数字并从网格中取一行的函数，并将[0..]与此数字一起应用到了那一排。 zipWith就是您所需要的：

drop

但我想要所有长度为2的对角线，而不仅仅是最大的对角线。那么看一下网格并想一想，你看到第0行的元素有哪些对角线？ zipWith drop [0..] grid -- [[1,2,3,4],[6,7,8],[11,12],[16]] map head $ zipWith drop [0..] grid -- [1,6,11,16]。所以很明显，你只需要前两行并转置元素：

[1,6],[2,7],[3,8]

现在如何从其他行开始获取对角线？还记得我们的transpose $ zipWith drop [0,1] grid -- [[1,6],[2,7],[3,8],[4]]诀窍吗？我们可以通过向tails提供新功能并将其应用于concatMap来获取所有对角线：

tails grid

但这些只是从左上角到右下角的对角线。那些从右上角到左下角的是什么？最简单的方法就是反转网格的行：

concatMap (transpose . zipWith drop [0,1]) (tails g)
-- [[1,6],[2,7],[3,8],[5,10],[6,11],...]

最后，您需要查找所有行的产品并选择最大的产品。最终代码如下：

concatMap (transpose . zipWith drop [0,1]) (tails $ reverse g)
-- [[13,10],[14,11],[15,12],[9,6],[10,7],...]

这段代码是否最优雅高效？没有，但它起作用并说明了函数式编程的某些思维模式。首先，你需要编写正常工作的代码，然后迭代重构它，直到你得到一个易于阅读和一般的解决方案。

在水平，垂直和对角线上乘以数字

5 个答案: