Question

我想在Matlab中为小值（例如1e-18）评估逆学生 t - 分布函数。自由度是2。

不幸的是，Matlab返回NaN：

tinv(1e-18,2)
NaN

但是，如果我使用R＆＃39的内置功能：

qt(1e-18,2)
-707106781

结果是明智的。为什么Matlab不能评估这个小值的函数？ Matlab和R的结果非常类似于1e-15，但是对于较小的值，差异是相当大的：

tinv(1e-16,2)/qt(1e-16,2) = 1.05

有没有人知道Matlab和R的实现算法有什么不同，如果R给出了正确的结果，我怎样才能有效地计算Matlab中的逆 t -distribution，以获得更小的值？

Answer 1

似乎R qt可能使用completely different algorithm而不是Matlab的tinv。我认为您和其他人应该通过提交service request向The MathWorks报告此缺陷。顺便说一下，在R2014b和R2015a中，对于第一个参数-Inf的小值（大约NaN和更小），返回eps/8而不是p。这更明智，但我认为他们应该做得更好。

在此期间，有几种解决方法。

特殊情况
首先，在Student's t-distribution的情况下，对于反向CDF有several simple analytic solutions或对于ν的某些整数参数有quantile function。对于ν = 2的例子：

% for v = 2
p = 1e-18;
x = (2*p-1)./sqrt(2*p.*(1-p))

返回-7.071067811865475e+08。至少，Matlab的tinv应该包含这些特殊情况（它们只对ν = 1这样做）。它也可能会提高这些特定解决方案的准确性和速度。

数字反转
tinv函数基于betaincinv函数。似乎这个函数可能导致第一个参数p的小值的精度损失。但是，如OP所建议的，可以使用CDF函数tcdf和根寻找方法来数值地评估逆CDF。 tcdf函数基于betainc，它似乎不敏感。使用fzero：

p = 1e-18;
v = 2
x = fzero(@(x)tcdf(x,v)-p, 0)

返回-7.071067811865468e+08。请注意，对于p接近1的值，此方法不是非常健壮。

符号解决方案
对于更一般的情况，您可以利用symbolic math和variable precision arithmetic。您可以将Gausian hypergeometric functions，₂ F ₁中的标识用作CDF的given here。因此，使用solve和hypergeom：

% Supposedly valid for or x^2 < v, but appears to work for your example
p = sym('1e-18');
v = sym(2);
syms x
F = 0.5+x*gamma((v+1)/2)*hypergeom([0.5 (v+1)/2],1.5,-x^2/v)/(sqrt(sym('pi')*v)*gamma(v/2));
sol_x = solve(p==F,x);
vpa(sol_x)

tinv函数基于betaincinv函数。符号数学工具箱或MuPAD中没有等效函数甚至不完整的Beta函数，但{的₂ F ₁关系类似可以使用{3}}：

p = sym('1e-18');
v = sym(2);
syms x
a = v/2;
F = 1-x^a*hypergeom([a 0.5],a+1,x)/(a*beta(a,0.5));
sol_x = solve(2*abs(p-0.5)==F,x);
sol_x = sign(p-0.5).*sqrt(v.*(1-sol_x)./sol_x);
vpa(sol_x)

两种符号方案都使用默认值-707106781.186547523340184返回同意digits的结果。

我还没有完全验证上面的两种符号方法，所以在所有情况下我都不能保证它们的正确性。代码也需要进行矢量化，并且比完全数值解决方案慢。

为什么小值的逆t分布在Matlab和R中有所不同？

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