DP - 查找具有一组特定规则的数组的最大总和

Question

这是关于我刚刚接受SE实习计划面试时收到的特定DP问题/问题。我无法找到适合它的解决方案，因此它一直困扰着我。一线希望是我意识到我需要处理我的DP技术。

所以，问题是这样的： -

给定一个数组n（即[1, 5, 0]和一组大小为n + 1的节点（在这种情况下，会有4个节点），这些节点需要以这种方式排列，以便找到可以从这种节点排列中提取的最大值。给定的标准如下： -

• 数组中的每个位置/索引表示当前节点可以连接的其他节点的数量;即第一个索引意味着一个节点连接到另一个节点，第二个意味着一个节点连接到另外两个节点，依此类推。依此类推。
• 数组中的每个值表示如果节点连接到一个，两个，三个......，（n-1）个其他节点，您可以提取多少增益。因此，如果一个节点连接到另一个节点，则提取的值（在这种情况下）将为1（根据上面的数组）。
• 这些节点的排列不能是循环的。即X1 -- X2 -- X3 -- X4是可以接受的。

我认为一些例子有助于更好地了解问题领域： -

输入：[1, 5, 0] |预期输出：12 |预期的节点排列：X -- X -- X -- X

说明： - 总共有4个节点，输入表示如果一个节点与其他一个节点连接，则该节点将产生1个单位的值/增益，如果它与其他2个节点直接连接，则为5个单位，没有值/如果它与其他3个节点直接连接，则获得所有权利。在最佳设置（如上所示）中，第一个和最后一个节点每个产生1个单元（每个节点连接到另一个节点），而序列中间的两个节点每个产生5个单元的节点。因此，可收集的最大值/增益为1 + 5 + 5 + 1 = 12。

输入[0, 0, 0, 0, 50] |预期输出：50 |预期的节点排列：*考虑STAR形状，中间有(n+1)节点，因为如果节点连接到其他5个节点，则增益为50。

输入[1, 2, 3, 4, 5, 6] |预期输出：12

输入[3, 9, 6, 15, 9, 21, 15] |预期输出：60

如果您不理解给定的问题/给出的示例，请随时提出问题，我会尽力澄清问题。

正如我所说的那样，我正处于改善DP特定问题的过程中。所以，我不希望在这里给出完整的解决方案。我只是要求提示/线索/我可以开展工作的起点。审查的算法也足够了！

基本上，任何帮助将不胜感激。提前致谢！ ：）

Answer 1

事实上，它类似于在n个顶点上生成所有不同的非同构树，然后找到可以从节点排列中提取的最大值的问题。

订单n的非同构树数量 1 ， 1 ， 1 ， 2 < / strong>， 3 ， 6 ， 11 ， 23 ， 47 ，<强> 106 ， 235 ， 551 ， 1301 ， 3159 ，...（OEIS A000055 ）具有生成函数但没有已知的闭合公式。

根据degree序列，这​​可以用以下列表表示。

例如，对于n = 6：

[1,2,2,2,2,1]

[1,2,2,3,1,1]

[1,2,3,1,2,1]

[1,2,4,1,1,1]

[1,1,1,1,1,5]

[1,3,1,1,3,1]

但是，在我们的例子中，[1, 2, 2, 3, 1, 1]和[1, 2, 3, 1, 2, 1]都代表1(3), 2(2), 3(1)（一个节点有三个顶点+两个节点有两个顶点+三个节点有一个顶点）。因此，我们可以丢弃所有重复的项目，并以反向词典顺序生成以下无序序列：

[5,1,1,1,1,1]

[4,2,1,1,1,1]

[3,3,1,1,1,1]

[2,3,2,1,1,1]

[2,2,2,2,1,1]

我们可以说：

1. 在具有n个顶点（如上面的树）的连接树中，每个顶点 degree至少为n-1，最多为S。
2. 树的度序列的大小C= 2(n-1)与顶点的数量相同（很明显！）。
3. 所有顶点degrees的总和：n（例如，对于n = 6，C = 10）。

问题：对于n-1个节点，我们有ith个节点类型，其中di项类型的度数为vi，值为D。我们正在尝试使用总容量C和大小S填充度数序列D，并选择最大值项。我们可以向Integer Knapsack Problem添加多个相同类型的项目。 这与C（允许的重复项目）存在类似的问题，但存在一些限制：总体权重必须等于S，项目数量必须< / strong>等于n = 4。

示例： 3

我们有[1, 2, 3]种类型的节点（度）：[1, 5, 0]具有给定值：4 序列的大小（背包）是：6，它的容量= Let us initialize a 3-d array arr[i][j][k] to “unknown” for all i,j,k. Value(n,C,S) { if (S == 0) return 0; //No more Space else if (S > C || S * n < C) return INT_MIN; //impossible to fill! if (n == 0) return 0; //No more item if (arr[n][C][S] != unknown) return arr[n][C][S]; if (n > C) result = Value(n-1,C,S); // can’t use nth item else if(n == C && S > 1) result = Value(n-1,C,S); // can't use it, if we do, we won't have enough capacity to fill the spaces else { for(int i = n - 1; i > 0; i--) q = max{q, P[i] + Value(i, C - i, S - 1)} // P[i] = value of a node with a degree of i result = max{q, Value(n - 1, C, S)}; } arr[n][C][S] = result; return result; }

DP解决方案：

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