Question

主要问题：假设您有一个离散的有限数据集$ d $。然后命令摘要（d）返回Min，1st quartile，Median，mean，3rd quartile和max。我的问题是：R使用什么公式来计算第一个四分位数？

背景：我的数据集是：d=c(1,2,3,3,4,9)。 summary(d)返回2.25作为第一个四分位数。现在，计算第一个四分位数的一种方法是选择值q1，使得25％的数据集小于等于q1。显然，这不是R正在使用的。所以，我想知道，R使用什么公式来计算第一个四分位数？

谷歌搜索这个主题甚至更加困惑，我无法找到R使用的公式。在R中输入help(summary)对我也没有帮助。

Answer 1

一般性讨论：

样本分位数函数有许多不同的可能性;我们希望它们具有各种属性（包括易于理解和解释！），并且根据我们最想要的属性，我们可能更喜欢不同的定义。

因此，它们之间的各种包使用了许多不同的定义。

Hyndman和Fan [1]的论文给出了样本分位数函数的六个理想属性，列出了分位数函数的九个现有定义，并提到了（许多常见的）包使用哪些定义。它的介绍说（对不起，这句话中的数学不再正常，因为它被移到了SO）：

统计中使用的样本分位数   包都是基于一个或两个订单统计，和   可以写成

\ hat {Q} _i（p）=（1 - γ）X _ {（j）} +γX_ {（j + 1）} \ ,,
   其中\ frac {j-m} {n} \ leq p＆lt; \ frac {j-m + 1} {n} \ quad（1）

对于某些m \ in \ mathbb {R}和0 \ leq \ gamma \ leq 1。

也就是说，一般来说，样本分位数可以写成两个相邻顺序统计量的某种加权平均值（尽管可能只有其中一个的权重）。

在R ：

特别是，R提供了Hyndman＆amp; Sons提到的所有九个定义。粉丝（默认为7美元）。来自Hyndman＆amp;范我们看到了：

定义7 。 Gumbel（1939）也考虑了模态的立场 $ p_k = \ text {mode} \，F（X _ {（k）}）=（k-l）/（n-1）$。一个不错的属性是$ Q_7（p）$的顶点将范围划分为$ n-1 $个区间，而$ Q_7（p $）和$ 100（1）左边的区间恰好是$ 100p \％$ -p）\％$的间隔位于$ Q_7（p）$。
的右侧

这是什么意思？考虑n=9。然后，对于(k-1)/(n-1) = 0.25，您需要k = 1+(9-1)/4 = 3。也就是说，下四分位数是9的第三个观察值。

我们可以在R中看到：

quantile(1:9)
  0%  25%  50%  75% 100% 
   1    3    5    7    9

对于n不是4k+1形式的行为，最简单的方法是尝试：

> quantile(1:10)
   0%   25%   50%   75%  100% 
 1.00  3.25  5.50  7.75 10.00 
> quantile(1:11)
  0%  25%  50%  75% 100% 
 1.0  3.5  6.0  8.5 11.0 
> quantile(1:12)
   0%   25%   50%   75%  100% 
 1.00  3.75  6.50  9.25 12.00

当k不是整数时，它会对相邻订单统计信息进行加权平均，与它们之间的分数成比例（即linear interpolation}。

好的一点是，平均而言，你得到的数量是第一个四分位数的3倍。因此，对于9个观测值，例如，你得到6个以上，2个低于第三个观测值，将它们分成3：1的比例。

您的示例数据发生了什么

您有d=c(1,2,3,3,4,9)，因此n为6.您需要(k-1)/(n-1)为0.25，所以k = 1 + 5/4 = 2.25。也就是说，它需要在第二次和第三次观察之间的25％（巧合的是它们本身是2和3），所以较低的四分位数是2+0.25*(3-2) = 2.25。

引擎盖下：一些R细节：

当您在数据框上调用summary时，会导致summary.data.frame应用于数据框（即您为其调用的类的相关summary）。它的存在在summary的帮助中提到。

summary.data.frame函数（最终 - 通过应用于每列的summary.default）调用quantile来计算四分位数（不幸的是，你不会在帮助中看到这个，因为{{ 1}}只是简单地将您带到?summary.data.frame帮助，并且不会向您提供有关将summary应用于数字向量时会发生什么的详细信息 - 这是其中一个非常糟糕的点帮助）。

所以summary（或?quantile）描述了R的作用。

这里有两件事（直接基于Hyndman＆amp; Fan）。首先，它提供了一般信息：

help(quantile)

All sample quantiles are defined as weighted averages of consecutive order statistics. Sample quantiles of type i are defined by:

Q[i](p) = (1 - γ) x[j] + γ x[j+1],

其次，有关方法7的具体信息：

where 1 ≤ i ≤ 9, (j-m)/n ≤ p < (j-m+1)/n, x[j] is the jth order statistic, n is the sample size, the value of γ is a function of j = floor(np + m) and g = np + m - j, and m is a constant determined by the sample quantile type.
   Type 7

m = 1-p

希望我之前给出的解释有助于更好地理解这句话。对. p[k] = (k - 1) / (n - 1). In this case, p[k] = mode[F(x[k])]. This is used by S.的帮助几乎只引用了Hyndman＆amp;粉丝就定义来说，它的行为非常简单。

<强>参考：

[1]：Rob J. Hyndman和Yanan Fan（1996），
“统计包中的分位数样本”，
美国统计学家，Vol。 50，No。4.（11月），pp.361-365

另见讨论here。

R中分位数的定义

1 个答案: