Question

考虑以下函数Add12，取自CRlibm's documentation并修复了几个明显错别字：

让a和b为浮点数，然后以下方法计算两个浮点数s和r，以便s完全+ r = a + b，s是最接近a + b的浮点数。

void Add12Cond ( double *s , double *r, double a, double b ) {
  double z ;
  *s=a+b;
  if (ABS(a) > ABS(b)){
    z=s−a;
    *r=b−z; 
  } else {
    z=s−b;
    *r=a−z;
  }
}

这看起来与应用于a和b的{{3}}非常相似，但有一个明显区别：Kahan的求和算法并不先于确定{{1}中的哪一个而烦恼}或a拥有最大的b。它只需要加起来（通常超过两个）。

我认为浮点运算手册邀请读者思考这个差异，但没有给出任何解释。无论如何，我已经考虑了一段时间，我仍然没有任何直觉，为什么Kahan的求和算法可以取消ABS测试（我现在没有这本书）我最近提到Kahan的求和算法，提醒我这个问题。

Answer 1

简而言之，Kahan求和的误差范围比Add12弱。 Kahan求和得到相对于输入绝对值之和的误差。

查看Add12，它肯定会将s计算为最接近a+b的内容。条件是确保z完全计算（casework！），因此r是“a+b的其余部分。特别是，您获得了r + s = a + b和|r| <= 0.5 ulp(s)。

如果我们在Add12中取错了分支，但幅度相差不超过2 epsilon，则z最多会计算0.5 ulp(z) *r }，所以1 ulp(z)最多会计算错误{{1}}。因此，无条件地选择两个分支意味着我们积累的误差与我们假设的东西的ulp成比例。 Kahan求和总是假设新输入较小，因此总误差大致与输入绝对值之和成比例。

卡汉在他描述卡汉求和的original half-page paper中写下了以下内容，它向我传达了星际迷航无法对20世纪60年代的狂野乐观情绪所做的事情：

许多FORTRAN和。中双精度的便捷可达性一些ALGOL编译器表明很快就会出现双精度普遍接受作为解决方案中的独创性的替代品数值问题。

不幸的是，这篇半页的论文没有给出任何界限或证据。 Kahan求和的误差界限见TAOCP第4.2.2节中的练习19;该练习表明，由khan求和x_1，...，x_n引起的误差受（2 epsilon + O（n epsilon ^ 2））（sum（i = 1..n）| x_i |）的限制。

我打算根据TAOCP中的设置给出一个证明，但是我已经反复和尴尬地屠杀了一段时间了。令人高兴的是，我刚发现David Goldberg did this in the appendix to "What every computer scientist should know about floating-point arithmetic."

为什么Add12和Kahan的求和算法有区别？

1 个答案: