Question

我们有一组A_1，..，A_n。目标是为每个旧集合找到新集合。

newA_i = {a_i in A_i such that there exist (a_1,..,a_n) in (A1,..,An) with no a_k = a_j for all k and j}

所以在单词中这说明我们从A_i中删除了所有不能用来形成元组（a_1，..，a_n）的元素（a_1，..，a_n）的元素，这样元组就不会t包含重复项。

我的问题是如何快速计算这些新集。如果你只是通过生成所有可能的v来实现这个定义，那将需要指数时间。你知道更好的算法吗？

编辑：这是一个例子。拿

A_1 = {1,2,3,4}
A_2 = {2}.

现在新的套装看起来像这样：

newA_1 = {1,3,4}
newA_2 = {2}

2已从A_1中删除，因为如果您选择它，元组将始终为（2,2），这是无效的，因为它包含重复项。另一方面，1,3,4是有效的，因为（1,2），（3,2）和（4,2）是有效元组。

另一个例子：

A_1 = {1,2,3}
A_2 = {1,4,5}
A_3 = {2,4,5}
A_4 = {1,2,3}
A_5 = {1,2,3}

现在新的套装是：

newA_1 = {1,2,3}
newA_2 = {4,5}
newA_3 = {4,5}
newA_4 = {1,2,3}
newA_5 = {1,2,3}

从第2组和第3组中删除了1和2，因为如果从这些集合中选择1或2，那么第1组，第4组和第5组将只剩下2个值，因此在元组中总是会有重复的值看起来像(_,1,_,_,_)或类似(_,_,2,_,_)。

这个问题似乎很难，但如果有多项式时间算法会很好。

另一种看待这种情况的方法是拍摄左边的集合A_i和右边的值，如果值在集合中，则用一条线连接一个集合和一个值。

Answer 1

我认为分配算法可能对此有所帮助。基本步骤是固定一个Ai中的数字，然后查看该数字是否可以与从Aj中选择的其他人一起使用，从而不重复从每个集合中选择一个数字。将数字视为人，将Aj中的数字视为可能用于执行任务j的人。然后，从每个Aj中找到不同代表的问题是为每个任务分配不同的人的问题。

维基百科将分配问题视为可能的所有分配和每个http://en.wikipedia.org/wiki/Assignment_problem的费用。在我们的例子中，我们可以使用0和1来表示可以做和不能做的成本，并查看是否存在零成本答案。

Answer 2

我还在考虑如何解决这个问题，但我决定尝试重写这个问题，看看它是否给了我任何灵感。

给定一组N组：

A_i = {a_i0, a_i1, ..., a_ij, ...}

查找

B_i such that x is in B_i if and only if:
   x is in A_i and
   there exists {c_0, c_1, c_2, c_3, ..., c_N} such that
      c_i = x and
      c_k is in A_k for all k and
      c_k != c_l for all k != l

查找可以完成元组的子集，无需重复

2 个答案: