将分段递归函数转换为非递归函数？

Question

我的数学教育只延伸到微积分，我发现自己希望将分段递归函数转换为没有递归的函数。有没有办法在不依赖模式发现或类似蛮力的情况下做到这一点？ （它甚至可能吗？）

具体来说，功能是:(对于所有整数）
    f（0）= 1
    f（1）= 1
    f（2）= 2
    f（2n）= f（n）+ f（n + 1）+ n（对于n> 1）
    f（2n + 1）= f（n - 1）+ f（n）+ 1（对于n> = 1）

我知道this similar question，但涉及矩阵的答案超出了我的范围。如果有一个需要较少知识的解释，我会非常感激。

Answer 1

修改
根据你的评论，你可能需要一些快速的解决方案，而不是必要的交互式解决方案。我检查了递归树的大小 - 它非常小 - 大约250个10 ^ 18（大约 - log2(M)级别的递归，大约3 + i个值在第i级。所以我用memoization（一种DP）实现了递归，这种方法在M = 2 ^ 80-1~10 ^ 24时非常快。

M = 1208944266358702884257791
Result = 24682648998311664639366438  
Map Size 321

伪代码：

  function F(Key)
     if Map.Contains(Key)then
        return Map.Value[Key]
      else
         usual recursion calls to get Result
         Map.Add(Key, Result)

旧东西按字面意思解决问题：
如果您不想发现具有高级数学的通用解决方案，则必须存储计算值。这是使用队列作为存储在Delphi中编写的非递归（迭代）函数的示例：

function ExoticFib(m: Integer): Integer;
var
  Q: TQueue<Integer>;
  n, fnm1, fn, fnp1, n2, n21: integer;
begin
  if m <= 3 then
    Exit(m + Ord(m = 0));  //return 1, 1, 2, 3

  Q := TQueue<Integer>.Create;
  Q.Enqueue(3);
  fn := 1;
  fnp1 := 2;

  for n := 2 to m div 2 do begin
    fnm1 := fn;      //forget the oldest value
    fn := fnp1;
    fnp1 := Q.Dequeue;  //here we have f(n-1), f(n), f(n+1)
    n2 := fn + fnp1 + n;
    Q.Enqueue(n2);
    n21 := fnm1 + fn + 1;
    Q.Enqueue(n21);
  end;

  if Odd(m) then // for m = 2k+1
    Result := n21
  else           // for m = 2k
    Result := n2;

  Q.Free;
end;