Question

考虑奇异值分解M = USV *。然后，M * M的特征值分解给出M * M = V（S * S）V * = VS * U * USV *。我希望通过显示eigh函数返回的特征向量与svd函数返回的特征向量相同来验证numpy的这种相等性：

import numpy as np
np.random.seed(42)
# create mean centered data
A=np.random.randn(50,20)
M= A-np.array(A.mean(0),ndmin=2)

# svd
U1,S1,V1=np.linalg.svd(M) 
S1=np.square(S1)
V1=V1.T  

# eig
S2,V2=np.linalg.eigh(np.dot(M.T,M))
indx=np.argsort(S2)[::-1]
S2=S2[indx]
V2=V2[:,indx]

# both Vs are in orthonormal form
assert np.all(np.isclose(np.linalg.norm(V1,axis=1), np.ones(V1.shape[0])))
assert np.all(np.isclose(np.linalg.norm(V1,axis=0), np.ones(V1.shape[1])))
assert np.all(np.isclose(np.linalg.norm(V2,axis=1), np.ones(V2.shape[0])))
assert np.all(np.isclose(np.linalg.norm(V2,axis=0), np.ones(V2.shape[1])))

assert np.all(np.isclose(S1,S2))
assert np.all(np.isclose(V1,V2))

最后一个断言失败了。为什么呢？

Answer 1

只需使用小数字来调试您的问题。

从A=np.random.randn(3,2)开始，而不是尺寸为(50,20)

的更大矩阵

在我的随机案例中，我发现

v1 = array([[-0.33872745,  0.94088454],
   [-0.94088454, -0.33872745]])

和v2：

v2 = array([[ 0.33872745, -0.94088454],
   [ 0.94088454,  0.33872745]])

它们只对符号有所不同，显然，即使将其标准化为单位模块，矢量也可能因符号而异。

现在，如果你尝试这个技巧

assert np.all(np.isclose(V1,-1*V2))

对于你原来的大矩阵，它失败了......再次，这没关系。会发生的是，某些向量已经乘以-1，其他一些向量则没有。

检查向量之间相等性的正确方法是：

assert allclose(abs((V1*V2).sum(0)),1.)

事实上，为了了解其工作原理，您可以打印此数量：

(V1*V2).sum(0)

确实是+1或-1，具体取决于向量：

array([ 1., -1.,  1.,  1.,  1.,  1.,  1.,  1.,  1.,  1.,  1.,  1.,  1.,
    1., -1.,  1.,  1.,  1., -1., -1.])

编辑：在大多数情况下会发生这种情况，特别是从随机矩阵开始。但请注意，如果一个或多个特征值具有大于1的特征空间，则此测试可能会失败，正如@Sven Marnach在下面的评论中所指出的那样：

除了向量乘以-1之外，可能还有其他差异。如果任何特征值具有多维本征空间，那么可能会得到该特征空间的任意正交基础，并且可能这些基地可以通过任意方式相互轮换单一矩阵

用numpy的eigh和svd计算的特征向量不匹配

1 个答案: