绘制闭合积分函数MATLAB

Question

我需要帮助。我必须使用MATLAB生成一条曲线。该图由公式（分析表达式）定义： -

其中，变量的含义如下：R是分布式电阻函数，S是分布导电函数，k是薄层电阻， r（x，y）是距离*之间 （x，y）*和周边 dl ，围绕芯片的所有周边进行集成。

如图所示的方形箔，具有10个任意单位长的边（a）和单一的单位薄层电阻（k = 1欧姆）用于我们的考虑。函数 R（x，y）的图应该是这样出来的......

我完全不知道如何绘制这个函数。我甚至无法理解如何根据 dl 定义距离函数 r（x，y）。最重要的是，闭合积分进一步复杂化。请帮我。任何帮助甚至简化表达也是受欢迎的。这样的方形结构是否有任何可能的封闭形式表达式？

提前致谢。这篇文章的链接就在这里。 paper here

Answer 1

重建数学

函数R的定义不是特别清楚，但我猜他们的意思是：

dOmega是陪衬的边界，而p是箔上的p = [px,py]点。

想象一下，对于工作表上的p点，您通过绕过箔片的边界（他们称之为周边）计算R(p)，您的位置为q，并且将一个除以你的距离（q）加到点p乘以k。

我猜你可以分析地计算这个矩形工作表的积分，但是如果你只想绘制函数，你可以通过在边界上定义有限数量的点来近似积分，评估这些点中的被积函数，然后取平均值并乘以周长。 [与integral(f(x), x=0...pi)]

近似pi*(f(0)+f(pi/2)+f(pi))/3的方式相同

使用坐标的替代表示：

如果您只熟悉坐标表示中实线的积分，您可以通过以下方式编写它，这很坦率地说是非常UGGGLY：

绘制近似值

%% Config:
xlen = 10;
ylen = 10;
k = 1;

%% Setting up points on the boundary of the square
x = linspace(0,xlen,50);
y = linspace(0,ylen,50);
perimeter = 2*(xlen+ylen);
boundary = [x(1)*ones(length(y),1),   y'
            x', y(1)*ones(length(x),1); ...
            x(end)*ones(length(y),1), y'; ...         
            x', y(end)*ones(length(x),1)];

%% Function definition
norm2 = @(X) sqrt(sum(X.^2,2));
R = @(p) 1/(perimeter*mean(1./(k*norm2(bsxfun(@minus,boundary,p)))));

%% Plotting
[X_grid,Y_grid] = ndgrid(x,y);
R_grid = zeros(size(X_grid));
for ii = 1:length(x)
    for jj = 1:length(y)
        R_grid(ii,jj) = R([x(ii),y(jj)]);
    end
end
surf(X_grid, Y_grid, R_grid);
axis vis3d;

这将给你以下情节：