指数型的推广

Question

(->)（a -> b为$ b ^ a $）的指数解释如何（如果有的话）推广到Hask / Set以外的类别？例如，似乎非确定性函数类别的解释大致为Kliesli [] a b，为$ 2 ^（a * b）$（a - ＆gt; b - ＆gt; Bool）。

Answer 1

指数的概念可以用Hask / Set之外的一般术语来定义。具有指数和产品的类别称为cartesian closed category。这是理论计算机科学的一个关键概念，因为每个c.c. category本质上是输入的lambda演算的模型。

粗略地说，对于任何一对对象a,b，在笛卡尔封闭类别中存在：

• 产品对象(a * b)和
• 指数对象(b^ab)

with morphisms

• eval : (b^a)*a -> b（在Haskell：\(f,x) -> f x，AKA适用）
• 对于任何f : (a*b)->c，存在Lf : a -> (c^b)（在Haskell中：curry f）

满足等式＆＃34;他们喜欢lambda演算＆＃34;，即如果f : (a*b)->c，那么：

• f = (Lf * id_a) ; eval

在Haskell中，最后一个等式是：

• f = \(x :: (a,b), y :: a) -> apply (curry f x, id y) where apply (g,z) = g z

或使用箭头

• f = (curry f *** id) >>> apply where apply (g,z) = g z