Question

我对Python比较陌生，试图用它来解决二阶非线性微分方程，特别是电解质中的Poisson-Boltzmann方程。

phi''(r) + (2/r)*phi'(r) = (k^2)*sinh(phi(r))

基本上它描述了静电势（phi）远离电解质中带电表面的衰变，其衰减速率由参数k控制。

phi（r） - r
dphi（r） - r
r - 距离曲面的距离（在这种情况下，我求解r = 1到r = R）

和边界条件

phi（1）= 5
dphi（R）= 0

代码的问题如下

from scipy.integrate import odeint
from scipy.optimize import root
from pylab import * # for plotting commands

k = 0.5 
phi = 5 
dphi = -10
R = 21

def deriv(z,r): # return derivatives of the array z   (where z = [phi, phi'])
    return np.array([
    (z[1]),
    ((k**2)*sinh(z[0]))-((2/r)*z[1])
    ])


result = odeint(deriv,np.array([phi,dphi]),np.linspace(1,R,1017), full_output = 1)

通常对于低k值，积分工作正常，我可以使用scipy.optimize中的root来解决它受边界条件限制，但是当我尝试使用相对较大的k值（0.5和更高）时，积分运行陷入问题并输出以下错误

Excess work done on this call (perhaps wrong Dfun type).

在使用full_output = 1运行它并查看tcur参数时，它似乎可以顺利计算到某个点，然后从非常大的值大幅振荡到非常小的值。在同一点nfe，函数评估的数量降至零。正确工作时，tcur参数从1到R顺利运行。任何人都可以告诉我为什么会发生这种情况？这是我的实施问题还是方程中存在不稳定性？

提前感谢您的帮助，

戴夫

Answer 1

ODE可能不稳定。相关方程式

phi''(r) = (k^2)*sinh(phi(r))

有k=1的解决方案（对于r = 1时的相应初始条件）：

phi(r) = 2 arctanh(sin(r))

该解决方案在r=pi/2处具有奇点。数值ODE求解器将无法将该等式积分超出此点。有一个类似的等式与一阶导数项（无论如何应该可以忽略不计，接近于奇点）的行为似乎是相似的。

你遇到的实际问题是使用ODE求解器的射击方法不是解决边界值问题的好方法 - 你应该使用相当稳定的搭配方法。参见例如http://www.scholarpedia.org/article/Boundary_value_problem及其中的参考资料。

对于Python软件，请参阅https://pypi.python.org/pypi?%3Aaction=search&term=boundary+value+problem&submit=search

自己编写这样的求解器通常也很容易，因为唯一需要的步骤是将问题离散化为一组（很多）方程，之后root可以解决它们。

在python中遇到ODEINT问题

1 个答案: